二分图的最小顶点覆盖 最大独立集 最大团

二分图的最小顶点覆盖 最大独立集 最大团

重要结论写在最前面：

• ① 最小顶点覆盖等于二分图的最大匹配
• ② 最大独立集=所有顶点数-最小顶点覆盖
• ③ 二分图的最大团=补图的最大独立集

一、二分图的最小顶点覆盖

定义：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边。最小顶点覆盖就是选择最少的点来覆盖所有的边。

方法： 最小顶点覆盖等于二分图的最大匹配

我们用二分图来构造最小顶点覆盖。

对于上面这个二分图，顶点分为左右两个集合，$X$集合包含$(1,2,3,4)$，$Y$集合包含$(5,6,7,8,9)$,假如现在我们已经找到一个最大匹配$M$ ，就是上面的红线所标注的$M=\{(1,7),(2,5),(4,8)\}$。

作如下定义：

• 定义$1、2、4、5、7、8$为已经匹配过的点，其他点为未匹配的点
• 定义$(4,8)、(1,7)、(2,5)$为已匹配的边，其他边为未匹配的边

下面我们从$Y$集合中找出未匹配的点，就是上面标记的$6$和$9$。每次我们从右边选出一个未匹配的点，从该点出发， 做一条

未匹配边->匹配边->未匹配边->……->匹配边（注意最后以匹配边结尾），并且标记用到的点

得到下图：

其中紫色的边为我们刚才画的边，其中标记的点有$2、4、5、6、8、9$。 上图的两条路为：

• $9->4->8->2->5$
• $6->2->5$

这两条路都是 未匹配边->匹配边->未匹配边->……->匹配边

注意:如果一个右侧未匹配点有多条边，那么这样的从该点开始的路径就有多条，上面的$6$和$9$都只有一条边，所以从每个点开始的这样的路径只有一条。

现在我们将 左侧标记的点 $2、4$和 右侧未标记的点 $7$选出组成集合$S$， 那个$S$就是一个最小顶点覆盖集，就是$S$集合可以覆盖所有的边。

注：形象的解释就是从$(2,4,7)$出发，可以到达点集中所有的点。

下面 证明：

（1）$|S|=M$，即 最小顶点覆盖等于二分图最大匹配

• 左边标记的点全都为匹配边的顶点，因为我们构造路径的时候左边的点向右找的边都是最大匹配的边

解释：未匹配边->匹配边，都是这样构建的，所以，左边标记的点当然都是匹配边的顶点。

• 右边未标记的点也为二分图最大匹配边的顶点,而且左边标记的加上有边未标记的正好是最大匹配的数目

（2）$S$能覆盖所有的边。所有的边可以分为下面三种情况：

• ① 左端点标记、右端点标记；这些边一定被左侧标记的点覆盖，比如上面的$2$,$4$
• ② 右端点未标记；这些边一定被右侧未标记的点覆盖，比如上面的$7$
• ③ 左端点未标记、右端点标记。

下面我们证明 ③ 这种边压根就不会存在：若$c$是最大匹配中的边，由于右端点不可能是一条路径的起点（因为我们的起点都是从$Y$集合中未匹配的点开始的），于是右端点的标记只能是在构造中从左边连过来，这是左端点必定被标记了，这时$c$就转化成了$a$；若$c$属于未匹配边，那么左端点必定是一个匹配点，那么$c$的右端点必定是一条路径的起始点，因此$c$的左端点也会成为一条路径的第二个点而被标记，这时$c$也就成了$a$。所以$c$这种边肯定是不存在的。

（3）$S$是最小的顶点集：因为最大匹配为$M$，而$|S|=M$，所以如果$S$中的点再少，那么连$M$个匹配的边都不能覆盖。

三、二分图的最大独立集

定义：选出一些顶点使得这些顶点两两不相邻，则这些点构成的集合称为独立集。找出一个包含顶点数最多的独立集称为最大独立集。

方法： 最大独立集 = 所有顶点数 - 最小顶点覆盖

在上面这个图中最小顶点覆盖=$3$，即$2,4,7$构成最小顶点覆盖，则其他点$6$个构成最大独立集。且其他点不可能相连。假设其他点相连则这条边必定没有被$2,4,7$ 覆盖，与$2,4,7$是最小顶点覆盖矛盾。因此其他点之间必定没有边。而$2,4,7$是最小顶点覆盖，所谓最小就是不能再小了，因此我们的独立集就是最大了。

四、二分图的最大团

定义：对于一般图来说，团是一个顶点集合，且由该顶点集合诱导的子图是一个完全图，简单说，就是选出一些顶点，这些顶点两两之间都有边。最大团就是使得选出的这个顶点集合最大。对于二分图来说，我们默认为左边的所有点之间都有边，右边的所有顶点之间都有边。那么，实际上，我们是要在左边找到一个顶点子集$X$，在右边找到一个顶点子集$Y$，使得$X$中每个顶点和$Y$中每个顶点之间都有边。

方法： 二分图的最大团=补图的最大独立集

补图的定义是：对于二分图中左边一点$x$和右边一点$y$，若$x$和$y$之间有边，那么在补图中没有，否则有。

这个方法很好理解，因为最大独立集是两两不相邻，所以最大独立集的补图两两相邻。

五、练习题

六、题单

https://blog.csdn.net/weixin_43918350/article/details/114454715

POJ1548
题目大意：给出一张地图上的垃圾坐标，以及若干机器人。每个机器人只可以从左->右，上->下，走完就废。问最少派出多少个机器人才能捡完所有垃圾。

解答：
最小路径覆盖的话非常简单，这题显然可以转化为DAG，代码见参考博客
不过也可以使用LIS，运用dilworth定理，也就是求最长反链的长度。也就是求最长下降子数列的长度

POJ2594

估计人数
与上题有相似之处，但要求必须相邻。
首先，可以使用最小可重复路径覆盖，因为该图可以轻易转化为DAG图，具体方法见参考博客
不过，显然可以仿照上一题使用LCS来解决。这里观察到对于每个联通块，显然有最长反链的长度即为最少人数（dilworth定理），代码如下