AcWing 3549. 最长非递减子序列

$AcWing$ $3549$. 最长非递减子序列

一、题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数字序列 $a_1,a_2,…,a_n$，序列中只包含数字 $1$ 和 $2$。

现在，你要选取一个区间 $[l,r](1≤l≤r≤n)$，将 $a_l,a_{l+1},…,a_r$ 进行翻转，并且使得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的长度尽可能长。

请问，这个最大可能长度是多少？

一个非递减子序列是指一个索引为 $p_1,p_2,…,p_k$的序列，满足 $p_1<p_2<…<p_k$ 并且 $a_{p1}≤a_{p2}≤…≤a_{pk}$，其长度为 $k$。

输入格式

第一行一个整数 $n$。

第二行 $n$个空格隔开的数字 $1$ 或 $2$，表示 $a_1,…,a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的最大可能长度。

数据范围

对于 $30\%$ 的数据，$1≤n≤100$。
对于 $100\%$ 的数据，$1≤n≤106$。

本题读入数据规模较大，需注意优化读入。
$C++$ 尽量使用 $scanf$ 读入，$Java$ 尽量使用 $BufferedReader$ 读入。

输入样例$1$：

4
1 2 1 2

输出样例1：

4

输入样例2：

10
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1

输出样例2：

9

二、从简化题目出发（求只含12的序列长度）

首先我是考虑的求出该序列的最长非递减子序列

其实只有 $2$ 种状态

• $1111111$…
  只可能由 $111111$… 这种状态转移而来

• $111111112222222222$…
  可能由 $11111111$… 转移而来
  也可能由 $111112222$… 转移而来

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int s1 = 0, s2 = 0;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (x == 1) {
            s1++; // 如果当前数字是 1，则状态1的长度加1
        } else {
            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1); // 如果当前数字为2，可能由两种状态转移而来
        }
    }
    cout << max(s1, s2) << endl;
    return 0;
}

三、回归题目（包括反转）

对于本题目而言，比上述的简单模型多加了一个条件：可以进行反转操作。

这就意味着，我们可以求一个形如：$111111222222111111222222$的子序列，然后进行反转操作让其变成 $1111111112222222$…的子序列

现在我们开始枚举状态：

• $1111111$....
  只能通过 $111111$…转移

• $(111111)2…$
  可以通过 $1111111$… 转移（仅限于转移到 $111111111111..2$ 这种状态）
  也可通过 $(11111)2222222$…转移

• $(111111122222)11111$…
  可以通过 $11111111222222$… 转移（仅限于转移到 $11111112222222..1$ 状态）
  也可以通过 $(111111122222)11111$…转移

• $(111111122222221111111)22222$…

  • 可以通过 $(111112222)111$… 转移（仅限于转移到 $1111222222111111..2$ 状态）
  • 也可以通过 $(111111122222221111111)22222$… 转移

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (x == 1) {
            s1++;
            s3 = max(s2 + 1, s3 + 1);
        } else {
            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1);
            s4 = max(s3 + 1, s4 + 1);
        }
    }
    cout << max({s1, s2, s3, s4}) << endl;
    return 0;
}