康托展开式与逆康托展开式

康托展开

官方简介：

康托展开 是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

通俗简介：

• 康托展开 可以求解一个排列的序号，比如：$12345$ 序号为 $1$ ，$12354$序号为$2$，按字典序增加编号递增，依次类推

• 康托逆展开 可以求解一个序号它对应的排列是什么

康托展开解释：
先给出康托展开的公式：

$$\large X=a_n \cdot (n-1)!+a_{n-1}\cdot(n-2)!+...+a_1\cdot 0$$

先对这个公式里变量进行解释，大家不理解这个公式没关系，慢慢往后看，很简单的。
$a_i$的意思是从右往左数第 $i$ 位这个数是这个数前未出现的数，第$a_i$大。

举个例子就明白这个公式了：

注意：计算的时候 $12345$ 序列应视为第$0$个序列，后面会解释为什么。

拿$52413$举例子：

• 首先看第一个数 $5$，不管第一位是什么数，后面都有四位数，那么这四位数全排列的方式有 $4！$ 种，而如果第一位是 $1$ 或 $2$ 或 $3$ 或 $4$ 都会比$5$开头的字典序要小，所以可以令$1，2，3，4$分别作为开头，这样的话就会有 $4 * 4！$种排法要比 $52413$ 这种排法的字典序要小。

那么第一个数是$1，2，3，4$时候的字典序的个数数完了是 $4 * 4！$ 种，且这些字典序都要比$52413$的字典序要小。

还有其他的排列方式比$52413$的字典序要小的吗？

• 那么就可以固定第一位$5$，找下一位$2$，这时$5$已经用过了，所以从剩下的 $1，2，3，4$ 里挑选比$2$小的数，一共$1$个，后面还剩三位，也就是$3！$种排列方式，那么这时候比 $52413$ 字典序要小的又有 $1 * 3！$种，也就是当$5$在第一位，$1$在第二位的时候。

• 再看第三位$4$，这时$5，2$都用了，所以从剩下的 $1，3，4$三个数中找比$4$小的数的个数，有两个比$4$小原理同上，所以这时候也可以有 $2 * 2!$种排列方式的字典序小于 $52413$

• 再看第四位$1$，这时候会有 $0 * 1！$种

• 再看第五位$3$，这时候会有$0 * 0！$种

综上所述：

对于序列： $52413$ 该序列展开后为： $4 * 4! + 1 * 3! + 2 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0!$ ，计算结果是： $106$
由于是从$0$开始计数的，所以最后 $52413$ 的编号为 $107$

$Q$:为什么从$0$开始计数？

可以这样看：我现在让你求$12345$的康托展开值，也就是：

$$0*4！+ 0*3！+ 0*2！+ 0*1！+0*0！ = 0$$

所以明白了吧~~
康托公式最小字典序的编号就是$0$。

康托展开代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 阶乘表
int fact[20];
void init_fact(int n) {
    fact[0] = 1; // 0的阶乘为1
    for (int i = 1; i <= n; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i;
}

// 康托展开
int cantor(string str) {
    int x = 1; // 注意，因为 12345 是算作0开始计算的，最后结果要把12345看作是第一个
    int len = str.size();
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int smaller = 0; // 在当前位之后小于其的个数
        for (int j = i + 1; j < len; j++)
            if (str[i] > str[j]) smaller++;
        // 两种方法:
        // ① 往后看，计算str[i]是第几大的数，或者说计算有几个比他小的数
        // ② 往前看，计算出现了几个比自己小的数，从自己身上扣除掉逆序数量，也就是后面剩余比自己小的数量
        x += smaller * fact[len - i - 1]; // 乘上阶乘
    }
    return x;
}

int main() {
    // 初始化10以内的阶乘表
    init_fact(10);
    string str = "52413";
    // 康托展开
    cout << cantor(str) << endl;
    return 0;
}

逆康托展开

这里直接开栗子：

如果初始序列是$12345$（第一个），让你求第$107$个序列是什么。（按字典序递增）

这样计算：

先把$107$减$1$，因为康托展开里的初始序列编号为$0$

然后计算下后缀积：

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$5！$	$4!$	$3!$	$2!$	$1!$	$0!$
$120$	$24$	$6$	$2$	$1$	$1$

• $106 / 4! = 4 ······ 10$ 有$4$个比它小的所以因该是$5$ 从$（1，2，3，4，5）$里选
• $10 / 3! = 1 ······ 4$ 有$1$个比它小的所以因该是$2$ 从$（1， 2， 3， 4）$里选
• $4 / 2! = 2 ······ 0$ 有$2$个比它小的所以因该是$4$ 从$（1， 3， 4）$里选
• $0 / 1! = 0 ······ 0$ 有$0$个比它小的所以因该是$1$ 从$（1，3）$里选
• $0 / 0! = 0 ······ 0$ 有$0$个比它小的所以因该是$3$ 从$（3）$里选

所以编号$107$的是 $52413$

$LetCoode$ $60$. 排列序列

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int fact[20];
void init_fact(int n) {
    fact[0] = 1; // 0的阶乘为1
    for (int i = 1; i <= n; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i;
}

string ans;

// 逆康托展开
void getPermutation(int n, int k) {
    vector<char> v; // 存放当前可选数，有序
    for (int i = 1; i <= n; i++) v.push_back(i + '0');

    k--; // 要先 -1 才是其康托展开的值

    for (int i = n; i; i--) {
        int r = k % fact[i - 1];
        int t = k / fact[i - 1];
        k = r;
        ans += v[t];            // 剩余数里第t+1个数为当前位
        v.erase(v.begin() + t); // 移除选做当前位的数
    }
}

int main() {
    int n = 5, k = 107; // 107
    init_fact(10);      // 预处理阶乘
    getPermutation(n, k);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}