P4084 Barn Painting G

$P4084$ $Barn$ $Painting$ $G$

一、题目描述

给定一颗$N$个节点组成的树，$3$种颜色，其中$K$个节点已染色，要求任意两相邻节点颜色不同，求合法染色方案数。

二、解题思路

树形计数类$DP$

状态表示
设$f[u][j]$表示将$u$染色为$j$时，$u$这棵子树的方案数

状态转移

$$\large f[u][j]=\prod_{v \in son[u]} \sum_{k \neq j}f[v][k]$$

初始化
$f[u][j]=1$
特别的，当$u$已被染色为$j$时，$f[u][k]=0（k!=t）$。

答案
$\large f[1][0]+f[1][1]+f[1][2]$

小结
树上$DP$求方案数的特点是对于$u$求出不包含$u$的子树方案，因为子树间互不相干，所以将$u$的子节点的子树 所有方案之和 乘起来就是 $u$子树的方案数 了。对于$u=root$，就是我们要求的总方案数。请注意其中加法原理和乘法原理的穿插运用。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10, M = N << 1;

int n, m;
int color[N]; // 值域1~3

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, ne[M];
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

LL f[N][4]; // 设f[u][j]表示将u染色为j时，u这棵子树的方案数
int st[N];  // 是不是访问过

void dfs(int u) {
    st[u] = 1; // 标识已访问
    // 初始化
    if (color[u])
        // 当某个节点被指定上色后，那么该节点另外两种颜色的方案数为0
        // 例如:当点u被指定上色2时：f[u][1]=0,f[u][3]=0 (因为无法上色1和3）
        f[u][color[u]] = 1;
    else
        f[u][1] = f[u][2] = f[u][3] = 1; // 三种颜色都可以染

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v]) continue;
        dfs(v);
        // 对于每个节点，因为不能于子节点上色相同
        f[u][1] = (f[u][1] * (f[v][2] + f[v][3]) % mod) % mod;
        f[u][2] = (f[u][2] * (f[v][1] + f[v][3]) % mod) % mod;
        f[u][3] = (f[u][3] * (f[v][1] + f[v][2]) % mod) % mod;
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    while (m--) {
        int u, c;
        cin >> u >> c;
        color[u] = c; // u节点被染过色,颜色为c
    }

    dfs(1);

    printf("%lld\n", (f[1][1] + f[1][2] + f[1][3]) % mod);
    return 0;
}