51nod 1588 幸运树

$51nod$ $1588$ 幸运树

【知识点】树形$dp$统计树上方案数

一、题目描述

定义幸运数字只由$4$和$7$组成，比如$4$，$7$，$47$。 定义幸运数字只由$4$和$7$组成，比如$4$，$7$，$47$。

给一棵树，要我们找到三元组$(i,j,k)$，两两之间的路径中必须要有一条由幸运数字组成的边。问，存在多少组这样的三元组。

二、解题思路

幸运数字好处理，$check$一下。关键是怎么找出贡献。

统计树上方案数，一般先固定一个点，比如$i$，然后再找另外两个点$j$和$k$，算出$i$这个点对应的贡献。

• 设$s[i]$为以$i$为根节点的子树中，有几个点到$i$的路径中存在幸运数字
• 设$f[i]$为以$i$为根节点的子树外，有几个点到$i$的路径中存在幸运数字

这样，我们的 $j$ 和 $k$ 的选择就可以在$f$中选择,或者$g$中选择,或者在$f$和 $g$中选择。

即$i$的贡献为

$$\large s[i]*(s[i]-1)+f[i]*(f[i]-1)+s[i]*f[i]*2$$

解释:

• $s[i]*(s[i]-1)$ $j,k$都在以$i$为根节点的子树中
• $f[i]*(f[i]-1)$ $j,k$都在以$i$为根节点的子树外
• $s[i]*f[i]$ $j$在$i$为根节点的子树中，$k$在$i$为根节点的子树外
• $f[i]*s[i]$ $k$在$i$为根节点的子树中，$j$在$i$为根节点的子树外

然后就是处理$f$和$g$。

$dfs$过程中

这些式子也还是都是满满的套路啦

• 如果$u$和$v$的边是幸运数字，则$s[u]+=sz[v]$,否则$s[u]+=s[v]$

• 如果$v$和$u$的边是幸运数字，则$f[v]+=sz[1]-sz[v]$,否则$f[v]+=f[u]+s[u]−s[v]$

所以要先$dfs$一遍预处理$s$和$sz$，然后$dfs$一遍处理$f$，最后统计方案。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10, M = N << 1;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

LL s[N], f[N];
int sz[N];
int st[N];

void dfs1(int u) {
    st[u] = 1;
    sz[u] = 1; // u节点自己加入
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v]) continue;
        // 先执行噢
        dfs1(v);
        // 统计u子树中节点数量
        sz[u] += sz[v];
        // 幸运边
        if (w[i])
            s[u] += sz[v]; // v子树中所有节点，都可以为s[u]贡献力量
        else
            s[u] += s[v]; // v这个点是指望不上的，它的子树中的贡献力量
    }
}

void dfs2(int u) {
    st[u] = 1;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (st[v]) continue;
        if (w[i])                 // 幸运边
            f[v] = sz[1] - sz[v]; // 容斥原理
        else
            f[v] = f[u] + s[u] - s[v]; // 还是容斥原理吧~
        // 最后执行噢
        dfs2(v);
    }
}

// 幸运数字是由 4 和 7 组成的正整数
int check(int n) {
    while (n) {
        if (n % 10 != 4 && n % 10 != 7) return 0;
        n /= 10;
    }
    return 1;
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // n-1条边
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        c = check(c); // 如果一条边的权值是一个幸运数字，那么我们就说这条边是一条幸运边
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    memset(st, 0, sizeof st);
    dfs1(1);
    memset(st, 0, sizeof st);
    dfs2(1);

    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) ans += s[i] * (s[i] - 1) + f[i] * (f[i] - 1) + s[i] * f[i] * 2;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}