第13届蓝桥杯青少年组C++第5题 金箍棒

解题思路

首先猜想最终相等的元素t的范围，最终应为数组中的某个元素。

• 若t小于数组中所有的元素，则此时增大t，那么所有元素变为t的次数将减小，可见t并非最优解；
• 若t大于数组中所有的元素，则此时减小t，那么所有元素变为t的次数将减小，可见t并非最优解；

可见t应该位于数组最大与最小值之间，下面证明最优的t可以取为数组中的某个元素，从而遍历数组元素即可。

如上图所示，设t为数组最大与最小值之间的一个值，若t不为数组中的某个元素，则设此时大于t的元素有x个，小于t的元素为y个。
若x>y，则上移一格t，此时操作数变化量为-x+y<0，将会更优；
若x<y，则下移一格t，此时操作数变化量为+x-y<0，将会更优；
若x=y，则无论上移与下移，操作数不变。
因此，可以看出若t不取数组中的某个元素值，则总可以通过调整t，使得操作数更少。因此t应该取数组中的某个值。

则问题转化为：
遍历数组中的数，找到某个元素t，使得t到其他元素值的距离之和最小。
由绝对值不等式可知，当t取数组中位数时，该距离之和最小。

中位数+绝对值不等式 \(AcWing\) \(104\). 货仓选址

排序之后取中位数,中位数的性质,所有数到他的和是最小的。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
int a[N];
int n, k;
int res = INF;
// 时间复杂度：10000*10000=1e8，C++一秒可过
/**
 测试用例I:
 3 2
 3 6 1

 答案
 3

 测试用例II:
 4 2
 2 6 11 18

 答案：
 4
 解释：
 将2调到6，需要4步。
 也可以把2调到3，1步。
 把6降到3，3步，共4步。

 测试用例III:
 5 3
 2 6 11 18 14

 答案：
 7
 解释：
 将11调到14，需要3步
 将18调到14，需要4步，共7步。


测试用例IV
 5 3
 1 2 7 8 12
 答案：5
 解释：
 最终结果是8，
 7+1=8，1步
 8不需要动，0步
 12-8=4，4步
 共1+0+4=5步
 */
int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    for (int i = 0; i < n - k + 1; i++) { // 枚举起点
        vector<int> b;
        for (int j = i; j <= i + k - 1; j++) b.push_back(a[j]);                // 将每个可用范围复制到数组b中
        sort(b.begin(), b.end());                                              // 排序
        int cnt = 0;                                                           // 变更次数
        for (int j = 0; j < b.size(); j++) cnt += abs(b[b.size() / 2] - b[j]); // 枚举每个数字与中位数对比
        res = min(res, cnt);                                                   // 记录最少变更次数
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}