zkw 线段树

$zkw$ 线段树

参考博文

俗称 重口味 ，与 $KMP$ 类似，咳咳...

一、$ZKW$线段树简介

$ZKW$线段树是由清华大学姚班大佬 张昆玮 所创立的一种线段树储存结构，由于其基于非递归的实现方式以及精简的代码和较高的效率而闻名。甚至，$ZKW$线段树能够可持久化。

我们从算法的角度对基础线段树进行分析：其实线段树算法本身的本质仍是统计。因此我们可以从统计的角度入手对线段树进行分析：线段树是将一个个数轴划分为区间进行处理的，因此我们面对的往往是一系列的离散量，这导致了我们在使用时的线段树单纯的退化为一棵"点树"(即最底层的线段树只包含一个点)。基于这一点可以入手对线段树进行优化。

二、$ZKW$线段树的构造原理

首先，我们忽略线段树中的数据，从线段树的框架结构入手进行分析：如图所示是一颗采用堆式储存的基本线段树：

我们将节点编号转换为二进制：

观察转为二进制后的结点规律：在基础线段树的学习中，我们知道对于任意结点$x$，其左子节点为$x<<1$，右子节点为$x<<1 ∣ 1$。这个规律是我们从根结点出发向叶节点寻找的规律。那么现在我们换个思路：从叶结点出发向根结点寻找规律：

• 当前结点的父节点一定是当前的结点右移一位(舍弃低位)得到的
• 当前结点的左子节点为$x<<1$，右子节点为$x<<1 ∣ 1$
• 每一层结点按照顺序排列，第$n$层有$2^{n-1}$个节点
• 最后一层的结点个数 = 值域

因为最后一层的结点个数=值域，假设给定数组$a[n]$，含有元素$a[1] \sim a[n]$。

我们约定，无论元素的个数是否达到$2^n$，最后一层的空间都开到$2^n$，无数据的叶节点空置即可。

三、$ZKW$线段树基本操作

1.建树操作

void build(int n){
    for(m = 1; m <= n;) m <<= 1;
    for (int i = m + 1; i <= m + n; ++i) op_array[i] = read();
    for (int i = m - 1; i; --i) operation(),
}

• 如果维护区间和，那么$op\_array[] \rightarrow sum[]，operation$

sum[i] = sum[i << 1] + sum[i << 1 | 1];

• 如果维护区间最小值，那么$op\_array[] \rightarrow minn[]，operation$

minn[i] = min(minn[i << 1], minn[i << 1 | 1])；	//不支持修改操作

minn[i] = min(minn[i << 1], minn[i << 1 | 1]),
minn[i << 1] -= minn[i], minn[i << 1 | 1] -= minn[i];

• 如果维护区间最大值，那么$op\_array[] \rightarrow maxx[]，operation$

maxx[i] = max(maxx[i << 1], maxx[i << 1 | 1]);	//不支持修改操作

maxx[i] = max(maxx[i << 1], maxx[i << 1 | 1]),
maxx[i << 1] -= maxx[i], maxx[i << 1 | 1] -= maxx[i];

2.单点查询

这个操作是相对容易理解的，就是一个从叶子结点开始，不断向父节点走，同时累加沿路的权值的过程。

int query(int x){
    int ans = 0;
    for (x += m; x; x >>= 1) ans += minn[s];
    return ans;
}

3.单点修改

单点修改的思路非常简单，只需要修改当前结点并更新父节点即可。

void update(int x,int v){
    op_array[x = m + x] += v;
    while(x) operation();
}

• 如果维护区间和，那么$op\_array[] \rightarrow sum[]，operation:$

sum[i] = a[i << 1] + a[i << 1 | 1];

//如果单纯维护区间和，那么可以压行：
void update(int p, int k){ for (p += m; p; p >>= 1) sum[p] += k; }

• 如果维护区间最小值，那么$op\_array[] \rightarrow minn[]，operation$

minn[i] = min(minn[i << 1], minn[i << 1 | 1]),
minn[i << 1] -= minn[i], minn[i << 1 | 1] -= minn[i];

• 如果维护区间最大值，那么$op\_array[] \rightarrow maxx[]，operation$

maxx[i] = max(maxx[i << 1], maxx[i << 1 | 1]),
maxx[i << 1] -= maxx[i], maxx[i << 1 | 1] -= maxx[i];

4.区间查询

如何进行区间查询？我们继续二进制表示入手，寻找查询的规律。

在实际的查询中，我们采取扩增左右区间端点的方式进行查询，即：将闭区间转换为开区间查询。

我们以下图为例：假设要查询的区间为$[1,2]$，那么首先转换为开区间$(0,3)$，我们可以发现变为开区间之后，$0$的兄弟结点必在区间之内，$3$的兄弟结点​必在区间内；根据这个规律我们可以总结：

对于待查区间$[l,r]$：

• 如果$l$是左儿子，则其兄弟结点必位于区间之内；
• 如果$r$是右儿子，则其兄弟结点必位于区间之内；
• 查询的终止条件：两个结点同为兄弟；
• 以上结论，对于任意层的结点均成立。

我们通过例子来模拟这个过程：

在如图所示的$ZKW$线段树中，假设我们要查询区间$[1,4]$，那么步骤如下：

• 闭区间改开区间，$[1,4]$改为查询$(0,5)$，扩增至$(M + 0, M + 5) = (8, 13)$；

• 判断：左端点$D[1000_B]$是左儿子，那么其兄弟$D[1001_B]$必位于区间内，累加$ans + = D[1001_B]$
  判断：右端点$D[1101_B]$是右儿子，那么其兄弟$D[1100_B]$必位于区间内，累加$ans + = D[ 1100_B]$

• 缩小区间(向根结点缩)：$l > > = 1 → 1000 >> 1 = 0100 ， r > > = 1 → 1101 > > 1 = 0110$

• 判断：左端点$D[0100_B]$是左儿子，那么其兄弟$D[0101_B]$必位于区间内，累加$an s + = D[0101_B]$
  判断：右端点$D[0110_B]$是左儿子，不做操作；

• 缩小区间(向根结点缩)：$l >> = 1 → 0100 > > 1 = 0010 ， r > > = 1 → 0110 > > 1 = 0011$

• 此时$l$和$r$同为兄弟，因此终止查询。

我们可以总结出区间查询的步骤：

• 闭区间改开区间$[l, r] → ( l + M − 1 , r + M + 1 )$
• 判断当前区间左端点是否是左儿子，如果是，则向累加器中累加兄弟结点；
  判断当前区间右端点是否为右儿子，如果是，则向累加器中累加兄弟结点；
• 端点变量处理操作：$l > > = 1 , r > > = 1$
• 循环执行$2 − 3$的步骤，直到$l$和$r$同为兄弟结点(此时不终止会导致重复计算)

如何判断是否为左子节点？我们很容易观察到左右子节点共同的特征：左子节点最低位为$0$ ，右子节点最低位为$1$，那么我们可以通过以下操作的真值判断左右子节点

• 判断左子节点：∼l & 1
l % 2 == 0的意思
• 判断右子节点：r & 1
r % 2 == 1的意思

对于取兄弟结点的值则可以通过与$1$异或求得：

• 左子节点求兄弟结点：l xor 1
• 右子节点求兄弟结点：r xor 1

TODO 文档先写到这里，先去看一代码，理解清楚后再继续研究
2023.01.05

https://blog.csdn.net/qcwlmqy/article/details/95938283

https://blog.csdn.net/weixin_43823476/article/details/92833064

https://www.acwing.com/blog/content/25173/

https://blog.csdn.net/yanweiqi1754989931/article/details/117575178

https://zhuanlan.zhihu.com/p/29876526
https://zhuanlan.zhihu.com/p/29937723

HDU 1166 敌兵布阵 单点更新，区间查询