线段树专题

线段树专题

线段树与树状数组的视频教程，非常清晰，强烈推荐

一、线段树基础

1. 线段树简介

线段树是算法竞赛中常用的用来维护区间信息的数据结构。
线段树可以在很小的时间复杂度内实现 单点修改、区间修改、区间查询（即区间求和，求区间 $max$ ，求区间 $min$ ，区间 $gcd$ 等）操作。

但是，线段树所维护的信息，需要满足区间加法。

区间加法：如果一个区间 $[l,r]$（线段树中一个点表示一个区间）满足区间加法的意思是一个区间 $[l,r]$ 的线段树维护的信息（即区间最大值，区间最小值，区间和，区间 $gcd$ 等），可以由两个区间 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$合并而来。

2. 线段树的基本概念

线段树，是一种基于分治思想的二叉搜索树。它支持的所有操作都可以 $O(logn)$ 的时间复杂度完成。
但是线段树有个很大的特点：线段树的题目可以调上一整天

线段树的 基本特点：

• 线段树的每一个节点表示一个区间
• 线段树有唯一根，这个根表示的所有会被线段树统计的总区间，一般情况下，根表示的区间就是 $[1,n]$
• 线段树的叶子节点表示的区间为 $[x,x]$ ，且长度为 $1$
• 线段树中如果一个节点表示的区间是 $[l,r]$ ，且这个点不为叶子节点，即 $l≠r$，那么这个节点的左子树的根表示的区间就是 $[l,mid]$ 这个节点的右子树的根表示的区间就是 $[mid+1,r]$，其中 $\large mid=⌊\frac{l+r}{2}⌋$。

3.线段树的存储方式

直接采用堆存储方式，即一颗线段树的跟的编号是 $1$ ，设一个不为根的节点编号 $x$ ，则这个点的父节点是 $⌊\frac{x}{2}⌋$ ，他的两个子节点的编号分别是 $2×x$ 和 $2×x+1$ 。为了线段树的节点不超过存储范围，一般线段树都要开 $4×n$ 的空间，即区间总长度的 $4$ 倍。

因为一颗线段树最多是一颗满二叉树，而满二叉树的最后一层是$n$ 个点，前面的点数是 $n−1$ ，所以一共要 $2×n−1$ 的空间，但由于线段树有可能最后一层节点还有子节点，比如说 $n=10$ 的时候，如图：

这里就是一个例子，最后一层是多出来的，而最后一层节点最多 $2×n$ 个节点，最坏情况下就最右边两个节点，最右下角的一个节点的编号是 $2×n−1+2×n=4×n−1$ ，所以线段树一般开 $4×n$ 。

4.建立线段树

思路
我们递归遍历初始区间，把遍历到的所有节点表示的区间记录下来，如果这个节点不是叶子节点（即区间长度大于$1$），那么就分别遍历左子树和右子树，否则就是叶子节点，不仅要把表示的区间记录下来，还要把线段树维护的信息也记录下来，维护的信息在叶子节点上基本上就是这个数本身。
时间复杂度 $O(logn)$

代码

struct Node {
    int l,r;
    LL sum;   //这里可以维护任何满足区间加法的信息，这里就用区间求和了
}tr[N << 2];   //要开四倍空间

void pushup (int u) {  //这里只有区间和，区间和就是由一个点的左右子节点的和相加
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
}

void build (int u,int l,int r) {  //当前正在下标为u的点，这个点表示的区间是[l,r]
    if (l == r) {
        tr[u] = {l,r,a[l]};
        return ;
    }
    tr[u] = {l,r};  //记得存储当前点表示的区间，否则你会调上一整天

    int mid = l + r >> 1;
    build (u << 1,l,mid),build (u << 1 | 1,mid + 1,r);  //u << 1就是u * 2，u << 1 | 1就是u * 2 + 1
    pushup (u);  //pushup函数的意思是把某一个节点的信息有他的子节点算出来
}

5.单点修改

思路
我们通过二分查找的形式找到要修改的点，然后把找的过程上的链都修改一下。
时间复杂度 $O(logn)$

代码

void modify (int u,int x,int v) {   //当前这个点是下标为u的点，要把第x个数修改成d
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        tr[u].sum = v;   //如果当前区间只有一个数，那么这个数一定是要修改的。
        return ;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (x <= mid) modify (u << 1 , x , v);  //如果在左边就递归修改左半边区间
    else modify (u << 1 | 1 , x , v);    //如果在右边就递归修改右半边区间
    pushup (u)   //记得更新信息
}

6.区间修改

思路1
线段树的区间修改大体分为两步

• 找到区间中全部都是要修改的点的线段树中的区间
• 修改这一段区间的所有点

我们先解决第 $1$ 步：
我们从根节点（根节点一定包含所有点，既包含修改区间）出发，一直往下走，直到当前区间中的元素全部都是被修改元素。
当左区间包含整个被修改区间时，我们就递归到左区间；
当右区间包含整个被修改区间时，我们就递归到右区间；
否则区间的样子就如下图所示：

此时该怎么办呢？
不过，通过思考，我们可以发现，被修改区间中的元素间，两两之间都不会产生影响。
所以，我们可以把被修改区间分解成两段，使得其中的一段完全在左区间，另一端完全在右区间。
很明显，直接在 $mid$ 的位置将该区间切开是最好的。如下图所示：

如果当前区间包含了修改区间的话就直接修改，把区间里的每一个数遍历一遍。
时间复杂度 $O(nlogn)$

代码

void modify (int u,int l,int r,int d) { //当前遍历到的点下标是u，要将区间[l,r]增加d
    if (tr[u].l == tr[u].r) {   //叶子节点
        tr[u].sum += d;
        return ;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  //注意是tr[u].l和tr[u].r
    if (l <= mid) modify(u << 1,l,r,d);  //左边有修改区间，就递归左半边
    if (r >= mid + 1) modify(u << 1 | 1,l,r,d);  //右边有修改区间，就递归右半边
    pushup (u);  //要记得要把这个点的信息更新一下
}

思路2
欸，你不是说线段树所有操作都是 $O(logn)$ 的吗？现在怎么来了一个 $O(n)$ 的？
这不就是思路 $2$ 啊。。。
为提高线段树的修改效率，就要引入一个好东西：懒标记

懒标记就是我们在做修改操作时能用来偷懒的标记

来自封禁的一个故事:

$A$ 有两个儿子，一个是 $B$，一个是 $C$。
有一天 $A$ 要建一个新房子，没钱。刚好过年嘛，有人要给 $B$ 和 $C$ 红包，两个红包的钱数相同都是 $1$ 元，然而因为 $A$ 是父亲所以红包肯定是先塞给 $A$ 咯~
理论上来讲 $A$ 应该把两个红包分别给 $B$ 和 $C$，但是……缺钱嘛，$A$ 就把红包偷偷收到自己口袋里了。
$A$ 高兴地说：「我现在有 $2$ 份红包了！我又多了 $2×1=2$ 元了！哈哈哈~」
但是 $A$ 知道，如果他不把红包给 $B$ 和 $C$，那 $B$ 和 $C$ 肯定会不爽然后导致家庭矛盾最后崩溃，所以 $A$ 对儿子 $B$ 和 $C$ 说：「我欠你们每人 $1$ 份 $1$ 元的红包，下次有新红包给过来的时候再给你们！这里我先做下记录……嗯……我欠你们各 $1$ 元……」
儿子 $B$ 、$C$ 有点恼怒：「可是如果有同学问起我们我们收到了多少红包咋办？你把我们的红包都收了，我们还怎么装？」
父亲 $A$ 赶忙说：「有同学问起来我就会给你们的！我欠条都写好了不会不算话的！」

至于懒标记：
如果父亲 $A$ 把钱给 $B$ 和 $C$ ，接着。。。 $A$ 就没钱了。没错！懒标记就是故事中的记录父亲 $A$ 没给的钱账本！

懒标记就是区间修改时偷懒用的，所以叫懒标记。
他主要解决了一个问题：如修改区间包含当前区间，就在这个节点上打个标记，表示这个点在以后的代码中要修改，现在先不修改。

懒标记的具体意思：我觉得 $y$ 总的懒标记意思比较好：如果一个点上打的一个懒标记，那么表示这个点的所有子节点都要变化这个懒标记（可以是加减乘除,$max$,$min$,$gcd$等等），注意！懒标记没有包含当前点！

具体见图：

我们给区间 $[1,2]$ 加上 $DATA=1e18$ （图左上角）
因为第一个节点包含了所有修改区间，所以我们把加的数挂在 第一个节点 上，区间修改就完成了。
当然，还有一个细节问题，就是如果一个点有懒标记，要先把他的懒标记下传，就是把懒标记给他的两个儿子，这就是我们要实现的 $pushdown$ 函数。下面几张图片就展示了懒标记下传的过程。

代码2

void pushdown (int u) { //下传标记函数
    auto &root = tr[u],&left = tr[u << 1],&right = tr[u << 1 | 1];  //加了引用符号只要修改这个变量就会修改他被赋值的变量
    if (root.tag) {  //有懒标记才下传
        left.tag += root.tag,left.sum += (LL)(left.r - left.l + 1) * root.tag;  //这里的子节点要加上懒标记，因为这里懒标记的意思是不包括当前节点
        right.tag += root.tag,right.sum += (LL)(right.r - right.l + 1) * root.tag;  //同理
        root.tag = 0;  //懒标记记得清零
    }
}
void modify (int u,int l,int r,int d) { //当前遍历到的点下标是u，要将区间[l,r]增加d
    if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
        tr[u].sum += (LL)(tr[u].r - tr[u].l + 1) * d;
        tr[u].tag += d;  //这里我才用了y总的懒标记的意思，一个点所有的子节点都加上d，而前一行时加上根节点的数，因为不包括根节点。
        return ;
    }
    
    pushdown (u);  //一定要分裂，只要记牢在递归左右区间之前，就要分裂
    
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;  //注意时tr[u].l和tr[u].r
    if (l <= mid) modify (u << 1,l,r,d);  //左边有修改区间，就递归左半边
    if (r >= mid + 1) modify (u << 1 | 1,l,r,d);  //右边有修改区间，就递归右半边
    
    pushup (u);  //要记得要把这个点的信息更新一下
}

7.区间查询

思路
区间修改类似区间修改，只不过变为查询了。

代码

LL query(int u,int l,int r) {
    if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    pushdown (u);  //在递归之前一定要分裂

    int mid = l + r >> 1;
    LL sum = 0;
    if (l <= mid) sum += query_sum (u << 1,l,r);  //左半边有被查询到的数据，就递归左半边
    if (r >= mid + 1) sum += query_sum (u << 1 | 1,l,r);  //右半边有被查询到的数据，就递归右半边
    return sum;
}

时间复杂度 $O(logn)$

二、题单

(1)、单点修改

$AcWing$ $1275$. 最大数[单点修改区间查询]

$AcWing$ $245$. 你能回答这些问题吗[单点修改区间查询]

$AcWing$ $246$. 区间最大公约数[单点修改区间查询+差分+更相减损数]

(2)、区间修改

$HDU$ $1698$ $Just$ $a$ $Hook$[黄海补充+区间修改统一值+区间查询]

$HDU$ $3577$ $Fast$ $Arrangement$ [黄海补充+线段树+区间修改+维护最大值]

$POJ$ $3264$ $Balanced$ $Lineup$[黄海补充+线段树+维护最大值、最小值]

$AcWing$ $243$. 一个简单的整数问题[区间增加一个值+区间查询]

$HDU$ $3333$ $Turing$ $Tree$ [黄海补充+线段树(树状数组)+离线操作+数字去重求区间和]

$POJ$ $2828$ $Buy$ $Tickets$[黄海补充+线段树+二分]

(3)、扫描线法

$AcWing$ $1228$. 油漆面积[扫描线+线段树，黄海补充]

$AcWing$ $247$. 亚特兰蒂斯

$AcWing$ $1277$. 维护序列

(4)、线段树优化建图

Legacy CodeForces - 787D

(5)、线段树维护树上信息

POJ 3321 Apple Tree [$dfs$序求子树节点和]

据说线段树还可以应用bfs序，目前还没有找到合适的练习题，挖坑待填吧~

dfs序基础讲解（小白版）

(6)、线段树维护区间可合并信息

$POJ$ $2777$ $Count$ $Color$

(7)、线段树维护区间不可合并信息（暴力计算）

$GSS4$ - $Can$ $you$ $answer$ $these$ $queries$ $IV$ [暴力开方]

$P4145$ 上帝造题的七分钟 $2$ / 花神游历各国
这个其实就是上面那道题，一模一样，输出有点差别而已。

$CF438D$ $The$ $Child$ $and$ $Sequence$[暴力取模]

(8)、线段树维护最大子段和

$GSS1$ - $Can$ $you$ $answer$ $these$ $queries$ $I$ [区间最大子段和]
$GSS3$ - $Can$ $you$ $answer$ $these$ $queries$ $III$[区间最大子段和+单点修改]
$GSS5$ - $Can$ $you$ $answer$ $these$ $queries$ $V$[有范围限制的区间最大子段和]

(9)、线段树与思维

$HDU$ $5649$ $DZY$ $Loves$ $Sorting$

(10)、线段树分裂与合并

$P5494$ 【模板】线段树分裂

$P4556$ [$Vani$有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

(11)、可持久化线段树（主席树）

推荐视频

$AcWing$ $255$. 第$K$小数

$HDU$ $5280$ $Lights$

codevs 1080 （单点修改+区间查询）
codevs 1081 （区间修改+单点查询）
codevs 1082 （区间修改+区间查询）
codevs 3981 （区间最大子段和）
Bzoj 3813　 （区间内某个值是否出现过）
Luogu P2894 （区间连续一段空的长度）
codevs 2000 （区间最长上升子序列）
codevs 3044 （矩阵面积求并）
Hdu 1698 （区间染色+单次统计）
Poj 2777 （区间染色+批量统计）
Hdu 4419 （多色矩形面积并）
Poj 2761 （区间第K大）
Hdu 2305 （最值维护）