拓扑排序 专题

拓扑排序专题

拓扑排序指的是有向无环图（$DAG$）；

学过计算机网络的知道计算机网络中有一个拓扑结构；

下面就是一个拓扑结构；

那拓扑序就是，图中任意一对顶点$u$和$v$，若边$<u,v>∈E(G)$，则$u$在线性序列中出现在$v$之前

我们可以发现 拓扑序不是唯一的；

接下来，我们需要知道一个概念——度：

对于有向图的某个结点来说，我们把指向它的边的数量叫做入度；

把从它发出的边的数量称为出度，这个都很好理解吧；

例如，下面这个图：

它是一个 $DAG$ 图，那么如何写出它的拓扑排序呢？这里说一种比较常用的方法：

1. 从 $DAG$ 图中选择一个没有前驱（即入度为$0$）的顶点并输出。

2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

3. 重复 $1$ 和 $2$ 直到当前的 $DAG$ 图为空或 当前图中不存在无前驱的顶点为止。

于是，得到拓扑排序后的结果是{ $1,2,4,3,5$ }。

通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。这是因为可能同时存在多个入度为$0$的结点，这时，先处理哪个都是可以的。

如何获得一个拓扑序：

我们先来找一个 最容易理解的例子，那就是食物链，对一个自然界的食物链来说，一定存在拓扑序；

第一：不存在环

第二：有向

接下来我们来看看如何获得一个拓扑序，我们观察最左面的结点，一定是没有指向它的边，也就是入度为零，最右边的结点呢，是一定不存在它指向别人的边的，如果有，那么它就不是最右边的点也就是出度为零；

那就是说，所有入度为零的点都可以作为起点，我们开一个数组记录入度的值；

至于如何使用邻接表存边，这就不展开解释了，可以参考这个：传送门

其实，拓扑排序也是$bfs$的一个简单应用，我们需要 借助队列 来实现；

首先，我们遍历存储入度的数组，获得可以作为起点的结点，将其加入队列；

接下来就可以愉快的遍历了，没当我们遍历到一个点的时候，我们让它的入度--；

这样做的 意义 就是，判断指向这个点的边是不是都遍历过了，因为我们要保证拓扑序最重要的一个特点：$<u,v>$的边中，$u$一定在$v$的前面出现；

如果这个点所有的边都遍历过的话，是不是也就是说这个点已经没有指向它的边了，也就是说这个点可以作为一个起点了，那我们将它加入队列；循环这个操作，知道队列为空；

按最小的字典序输出拓扑排序

　　一个图的拓扑排序往往不只有一种，所以有时题目 要求输出字典序最小的拓扑排序，这时我们只需要把$bfs$中的队列 换成优先队列 就好，同时入度为$0$的点字典序小的先出队。

题单

$AcWing$ $848$. 有向图的拓扑序列
【判断是不是拓扑图的方法，输出任意一个拓扑序列】

$AcWing$ $1191$. 家谱树
【输出任意一个拓扑序列】

$P4017$ 最大食物链计数 - 洛谷
【拓扑序、递推、记录入度的同时记录出度，方便找到终点、数字三角形模型】

$P1137$ 旅行计划
【拓扑序、递推、记录入度的同时记录出度，方便找到终点、数字三角形模型】

$AcWing$ $1192$. 奖金
【拓扑序，给初始值，按拓扑序求最长路，得最小值】

$AcWing$ $164$. 可达性统计
【拓扑序，逆拓扑序倒推，$bitset$状态压缩,或运算求和】

$AcWing$ $456$. 车站分级
【拓扑序，笛卡尔积条边使用中间点降维建图技巧、最长路、最小值】