AcWing 1471. 牛奶工厂

$AcWing$ $1471$. 牛奶工厂

一、题目描述

牛奶生意正红红火火！

农夫约翰的牛奶加工厂内有 $N$ 个加工站，编号为 $1…N$，以及 $N−1$ 条通道，每条连接某两个加工站。（通道建设很昂贵，所以约翰选择使用了最小数量的通道，使得从每个加工站出发都可以到达所有其他加工站）。

为了创新和提升效率，约翰在每条通道上安装了传送带。

不幸的是，当他意识到传送带是单向的已经太晚了，现在每条通道只能沿着一个方向通行了！

所以现在的情况不再是从每个加工站出发都能够到达其他加工站了。

然而，约翰认为事情可能还不算完全失败，只要至少还存在一个加工站 $i$ 满足从其他每个加工站出发都可以到达加工站 $i$。

注意从其他任意一个加工站 $j$ 前往加工站 $i$ 可能会经过 $i$ 和 $j$ 之间的一些中间站点。

请帮助约翰求出是否存在这样的加工站 $i$。

输入格式
输入的第一行包含一个整数 $N$，为加工站的数量。

以下 $N−1$行每行包含两个空格分隔的整数 $a_i$ 和 $b_i$，满足 $1≤a_i,b_i≤N$ 以及 $a_i≠b_i$。

这表示有一条从加工站 $a_i$ 向加工站 $b_i$ 移动的传送带，仅允许沿从 $a_i$ 到 $b_i$ 的方向移动。

输出格式
如果存在加工站 $i$ 满足可以从任意其他加工站出发都可以到达加工站 $i$，输出最小的满足条件的 $i$。

否则，输出 $−1$。

数据范围
$1≤N≤100$

输入样例：

3
1 2
3 2

输出样例：

2

二、题目解析

传递闭包 问题就是一类具有传递性的问题。

按人话来说就是: 在一个元素集里，对你说一堆：某两个元素之间有关系。然后问你这些元素中一共有多少个元素有关系。

传递闭包概念的重点:
这个关系必须是二元的，也就是说，其他的多元关系也一定要可以分解为几个二元关系的累积。

传递闭包问题的转化和解决
可以将传递闭包问题转化为图论问题。

把元素变成一个点，有关系就连一条边。

最后用$Floyd$算法解决两点之间的连通关系。（任意两点）

基本思路：若$i$能到$k$，$k$能到$j$，则$i$一定能到达$j$。

利用$Floyd$传递闭包，求解所有点互相到达的情况，$1$表示可以，$0$表示不可以。
最后$for$循环$1$~$n$求出对于第$i$个点有多少个点能够到达它，如果等于$n-1$就直接输出这个$i$，退出循环即可。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, d[N][N], ans;
int main() {
    scanf("%d", &n);

    int u, v;
    for (int i = 1; i < n; i++) scanf("%d%d", &u, &v), d[u][v] = 1;

    // Floyd求传递闭包
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int cnt = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (d[j][i]) cnt++; //有多少个点可以到达i点

        if (cnt == n - 1) {
            ans = i;
            break;
        }
    }
    if (ans)
        printf("%d", ans);
    else
        puts("-1");
    return 0;
}