Tarjan算法求强连通分量

$Tarjan$——强连通分量

首先了解几个概念：强连通，强连通图，强连通分量

• 强连通：在一个有向图$G$中，两个点$a，b$，$a$可以走到$b$，$b$可以走到$a$，我们就说$(a,b)$强连通

• 强连通图：在一个有向图$G$中，任意两个点都是强连通

• 强连通分量：在一个有向图$G$中，有一个子图，它任意两个点都是强连通，我们就说这个子图为强连通分量，特别的，一个点也是一个强连通分量

如图所示：

显然可得：$1,2,3,5$ 构成了一个强连通分量（一个点也是）

首先引进一个概念:

• 时间戳，用数组$dfn$表示，也就是搜索这个图的顺序,每个节点的时间戳不同。

• $low[x]$,以$x$为根的子树中，每个节点中连接的点的时间戳的最小值
  $low$的初值:$low[x]=dfn[x]$
  可能有点难懂，但这个非常重要，是核心思想，等一下的模拟过程会详细讲述

• 如何储存强连通分量呢，可以用 栈

算法步骤

• 每次遍历到一个新节点，就把它放进栈，如果这个点有出度，就继续往下找，直到不能再找
• 每一次回来都要更新$low$值，当然是取小的那个，如果发现$low[x]=dfn[x]$那么它的子节点中肯定有一个连上来，既然可以过去又可以回来，很明显是一个强连通分量。那么这个$x$就是这个强连通分量的根节点，那么栈中间，比这个$x$晚进来的点就是$x$的子节点，那么这些点全部出栈，就组成了一个强连通分量

到这来就完了，但是好像还是 没有理解透彻（反正我是这样）

那么就模拟一下,还是这张图$5->4$

• $low[1]=dfn[1]=1$，$1$入栈

• $low[2]=dfn[2]=2$，$2$入栈

• $low[3]=dfn[3]=3$，$3$入栈

• $low[5]=dfn[5]=4$，$5$入栈

然后发现$5$连接着$1$，已经$1$寻找过的了，那么就看看，$PK$下谁才是真正的祖先

$low[1]=1$,$low[5]=4$,好吧，$5$输了，所以$1$是$5$的根节点，

$$\large low[5]=min(low[5],low[1])=1$$

继续发现还有$4$，$low[4]=dfn[4]=5$， $4$入栈

但是$4$已经没有了出度，往回退

发现$low[4]=dfn[4]$那么$4$就是一个强连通分量的根节点（其实也就它一个），$4$退栈

继续往回退：$low[5]=min(low[5],low[4])=1$;

继续：一直到$1$，

$$\large low[3]=min(low[3],low[5])=1 \\ low[2]=min(low[2],low[3])=1 \\ low[1]=min(low[1],low[2])=1$$

发现此时$low[1]=dfn[1]$，所以$1$也是 一个强连通分量的根，此时发现栈里还有$1,2,3,5$,所以这个强连通分量为$1,2,3,5$

$1$还有一个出度：$4$

寻找$4$，$low[4]=dfn[4]=5$,发现没有出度

$low[4]=dfn[4]$,所以$4$是一个强连通分量的根节点（还是只有他一个），退栈

往回退，$low[1]=min(low[1],dfn[4])=1$;

这样就完了吗？
万一还有图没有遍历到呢
所以要加一个语句:

 for (int i = 1; i <= n; i++)
     if (!dfn[i]) tarjan(i);

练习题

P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S
题目描述
有一个 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图，请求出这个图点数大于 $1$ 的强联通分量个数。

输入格式
第一行为两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行至 $m+1$ 行，每一行有两个整数 $a$ 和 $b$，表示有一条从 $a$ 到 $b$ 的有向边。

输出格式
仅一行，表示点数大于 $1$ 的强联通分量个数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 50002, M = N << 1;
int n, m, ans;

int stk[N], top;    // tarjan算法需要用到的堆栈
bool in_stk[N];     // 是否在栈内
int dfn[N];         // dfs遍历到u的时间
int low[N];         // 从u开始走所能遍历到的最小时间戳
int ts;             // 时间戳,dfs序的标识,记录谁先谁后
int id[N], scc_cnt; // 强连通分量块的最新索引号
int sz[N];          // sz[i]表示编号为i的强连通分量中原来点的个数

//链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// tarjan算法求强连通分量
void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++ts;
    stk[++top] = u;
    in_stk[u] = 1;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j]) {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        } else if (in_stk[j])
            low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }

    if (dfn[u] == low[u]) {
        ++scc_cnt; // 强连通分量的序号
        int x;     // 临时变量x,用于枚举栈中当前强连通分量中每个节点

        do {
            x = stk[top--];    //弹出节点
            in_stk[x] = false; //标识不在栈中了
            id[x] = scc_cnt;   //记录每个节点在哪个强连通分量中
            sz[scc_cnt]++;     //这个强连通分量中节点的个数+1
        } while (x != u);
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d %d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!dfn[i]) tarjan(i);

    //枚举结果数组，统计题目要求的 点数大于 1 的强联通分量个数
    for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++)
        if (sz[i] > 1) ans++;

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}