LCA 之 Tarjan(离线)算法

$LCA$ 之 $Tarjan$(离线)算法

什么是最近公共祖先？

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。
所以$LCA$主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？
答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而$LCA$还可以将自己视为祖先节点。

举个例子吧，如下图所示$４$和$５$的最近公共祖先是$２$，$５$和$３$的最近公共祖先是$１$，$２$和$１$的最近公共祖先是$１$。　

这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为$O(n*q)$，很明显，$n$和$q$一般不会很小。

$LCA$常见的四种求法

算法	倍增	$Tarjan$	$DFS+ST$	线段树
在线离线	在线算法	离线算法	在线算法	在线算法
时间复杂度	$O(logn) \sim O(nlogn)$	$O(n+q)$	$O(logn) \sim O(nlogn)$	$O(n) \sim O(nlogn)$
优缺点	简单，只理解了一下午就会了	$Tarjan$ 算法复杂度最低，代码也很简单，不易出错,可以一次性处理多条查询请求！		简单粗暴

这篇博客主要是要介绍一下$Tarjan$算法

什么是$Tarjan$(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是$O(n+q)$。

$Tarjan$算法的优点在于 相对稳定，时间 复杂度也比较居中，也很 容易理解。

下面详细介绍一下$Tarjan$算法的基本思路：

1. 任选一个点为根节点，从根节点开始
2. 记$u$已被访问过
3. 遍历该点$u$所有子节点$j$
4. 若是$j$还有子节点，返回$3$，否则下一步
5. 合并$j$到$u$家族
6. 寻找与当前点$u$有询问关系的点$v,id$,
7. 若是$v$已经被访问过了，$lca[id]=find(v)$

遍历的话需要用到$dfs$来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用 并查集 来合并两个节点。

下面上伪代码：

//merge和find为并查集合并函数和查找函数
tarjan(u){
    st[u] = true;
    for each(u,v){   //访问所有u子节点v
        tarjan(v);   //继续往下遍历
        p[v] = find(u);//合并v到u上
    }
    for each(u,v){   //访问所有和u有询问关系的v
        如果v被访问过;
        u,v的最近公共祖先为find(v);
    }
}

个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以我打算模拟一遍给大家看。

建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！

假设我们有一组数据 $9$个节点 $8$条边 联通情况如下：

$1-2，1-3，2-4，2-5，3-6，5-7，5-8，7-9$ 即下图所示的树

设我们要查找最近公共祖先的点为$9-8，4-6，7-5，5-3$

设$f[]$数组为并查集的父亲节点数组，初始化$f[i]=i，vis[]$数组为是否访问过的数组，初始为$0$;

下面开始模拟过程：

取$1$为 根节点，往下搜索 发现有两个儿子$2$和$3$；

先搜$2$，发现$2$有两个儿子$4$和$5$，先搜索$4$，发现$4$没有子节点，则寻找与其有关系的点；

发现$6$与$4$有关系，但是$vis[6]=0$，即$6$还没被搜过，所以 不操作；

发现没有和$4$有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[4]=1$；

表示$4$已经被搜完，更新$f[4]=2$，继续搜$5$，发现$5$有两个儿子$7$和$8$;

先搜$7$，发现$7$有一个子节点$9$，搜索$9$，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；

发现$8$和$9$有关系，但是$vis[8]=0$,即$8$没被搜到过，所以不操作；

发现没有和$9$有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[9]=1$；

表示$9$已经被搜完，更新$f[9]=7$，发现$7$没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

发现$5$和$7$有关系，但是$vis[5]=0$，所以 不操作；

发现没有和$7$有关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[7]=1$；

表示$7$已经被搜完，更新$f[7]=5$，继续搜$8$，发现$8$没有子节点，则寻找与其有关系的点；

发现$9$与$8$有关系，此时$vis[9]=1$，则他们的最近公共祖先为$find(9)=5$；
(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

发现没有与$8$有关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[8]=1$；
表示$8$已经被搜完，更新$f[8]=5$，发现$5$没有没搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

发现$7$和$5$有关系，此时$vis[7]=1$，所以他们的最近公共祖先为$find(7)=5$；
($find(7)$的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

又发现$5$和$3$有关系，但是$vis[3]=0$，所以不操作，此时$5$的子节点全部搜完了；

返回此前一次搜索，更新$vis[5]=1$，表示$5$已经被搜完，更新$f[5]=2$；

发现$2$没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；

又发现没有和$2$有关系的点，则此前一次搜索，更新$vis[2]=1$；

表示$2$已经被搜完，更新$f[2]=1$，继续搜$3$，发现$3$有一个子节点$6$；

搜索$6$，发现$6$没有子节点，则寻找与$6$有关系的点，发现$4$和$6$有关系；

此时$vis[4]=1$，所以它们的最近公共祖先为$find(4)=1$;

($find(4)$的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

发现没有与$6$有关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[6]=1$，表示$6$已经被搜完了；

更新$f[6]=3$，发现$3$没有没被搜过的子节点了，则寻找与$3$有关系的点；

发现$5$和$3$有关系，此时$vis[5]=1$，则它们的最近公共祖先为$find(5)=1$；

($find(5)$的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

发现没有和$3$有关系的点了，返回此前一次搜索，更新$vis[3]=1$；

更新$f[3]=1$，发现$1$没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以退出整个$dfs$了。

经过这次$dfs$我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对$Tarjan$算法有更深层次的理解了呢？

标准代码模板

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 500010, M = N << 1;

//链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

vector<PII> query[N]; // query[u]: first:询问的另一个顶点; second:询问的编号

int n, m, s;
int p[N];   // 并查集数组
bool st[N]; // tarjan算法求lca用到的是否完成访问的标识
int lca[N]; // 结果数组

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); //路径压缩
    return p[x];
}

void tarjan(int u) {
    // ① 标识u已访问
    st[u] = true;
    //② 枚举u的临边，tarjan没有访问过的点
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) {
            tarjan(j);
            //③ 完成访问后，j点加入u家族
            p[j] = u;
        }
    }
    //④ 每个已完成访问的点，记录结果
    for (auto q : query[u]) {
        int v = q.first, id = q.second;
        if (st[v]) lca[id] = find(v);
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &s);

    int a, b;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        query[a].push_back({b, i});
        query[b].push_back({a, i});
    }

    //初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    tarjan(s);

    //输出答案
    for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d\n", lca[i]);
    return 0;
}