巧用隔板法快速攻破排列组合难题

　　如果让你把$7$个大小相同的橘子分给$4$个小朋友，要求每个小朋友至少分到$1$个橘子，问一共有多少种不同的分法？

　　看完问题后，你能快速得出答案吗？如果难倒你的话，那就说明你对排列组合中的隔板法还不太了解哦！

　首先，让我们一起来正确认识一下隔板法

隔板法主要针对的是 相同元素 的不同分堆问题。我们也可以把它理解为：

　　如果把$n$个相同的元素分给$m$个不同的对象，每个对象 至少有一个 ，问有多少种不同的分法的问题。其基本公式为：

$$\large C_{n-1}^{m-1}$$

然后，再来看一下隔板法都有哪些题型特征

隔板法一共有三种题型：①标准型、②多分型、③少分型，后两种都需要基于 标准型 来解题，具体要怎么操作呢？下面我们再来通过$3$个例题分别介绍一下隔板法的三种题型特征及应用，接着往下看

1、标准型

标准型需要同时具备的$3$个要求：

• 被分配的$n$个元素无差别
• 这$n$个元素分给$m$个不同对象
• 每个对象至少分 一个 元素

【解析】正确答案为$C$。

【解题思路】本题中相同的元素是$6$本相同的书，故$n=6$；放进$4$个抽屉，即将书分成$4$堆，故$m=4$；每个抽屉至少放$1$本书，故本题为隔板法中的标准题型。

【解题方法】把$6$本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这$6$本书分成$4$堆，只要在这$6$本书形成的空隙中插入$5$个隔板即可。$6$本书排成一排，形成了$7$个空。但是，因为要求每个抽屉至少放$1$本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的$5$个空中插入$3$个隔板，即从$5$个空中选择$3$个空插入隔板，代入公式：

2、多分型

多分型需要同时具备的$3$个要求：

• 被分配的$n$个元素无差别
• 这$n$个元素分给$m$个不同的对象
• 每个对象至少分$x$个元素

【解析】正确答案为$D$。

【解题思路】此题中没有要求至少发$1$份，而是要求至少发$9$份的，因此需要将其 转化 为标准型的隔板模型，方法就是 先每个部门分$x-1$个元素，剩下的元素就转化为每个部门至少分一个元素了。

【解题方法】假设三个部门分别为$A、B、C$，每个部门可以先分$8$份，然后再把剩下的$6$份发给$3$个部门，保证每个部门发$1$份，代入公式：

$3$、少分型

少分型需要同时具备的$3$个要求：

• 被分配的$n$个元素无差别
• 这$n$个元素被分给$m$个不同的对象
• 被任意分给这$m$个不同的对象

【解析】正确答案为$B$。

【解题思路】这道题中说每个盒子可以为空，就意味着有的盒子可以分$0$个元素，因此可以采用 先借后还 的思路，先向每一个盒子借一个元素，总共就会有$n$个元素了，由于借了一个元素，接下来在分的时候，每个盒子则 至少需要分一个，这样就 转化 成了 标准的隔板模型。

【解题方法】在分之前先向每个盒子借$3$个小球，总共就会有$23$个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，有多少种分法，代入公式：

　以上就是今天所讲的排列组合之隔板法的运用了，希望大家理解并能熟练运用！

【上文解锁】一共有$20$种不同的分法，你做对了吗？
【解析】此题为隔板法的标准型，因为相同的元素是$7$个大小相同的橘子，故$n=7$；给$4$个小朋友，故$m=4$；所以只要在这$7$个橘子$6$个空之间插入$3$个隔板即可，代入公式：

回到本题

$15$个笔记本，分给$3$个小朋友，每人最少分$4$个，属于【多分型】,先每人分$3$个，预处理一下：

$$\large 15-3*3=6$$

$$\LARGE ○ ○ ○ ○ ○ ○$$

属于在$5$个有用的 空格 中选择$2$个,即

$$\large C_5^2=\frac{5\times 4}{ 2 \times 1}=10$$