POJ 32523252(组合数）

$POJ$ $3252$(组合数）

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一、题目描述

给出两个整数$Start,Finish$，问区间$[Start,Finish]$中 $round$ $number$的个数。
（$1<=Start<Finish<=2000000000$）

$round$ $number$定义：$RN$数即化为二进制后$0$的个数不少于$1$的个数的数。(需要去除前导零)

二、解题思路

这题的约束就是一个数的二进制中$0$的数量要不能少于$1$的数量，通过上一题，这题状态就很简单了，$dp[pos][num]$,到当前数位$pos$,$0$的数量减去$1$的数量不少于$num$的方案数，一个简单的问题，中间某个$pos$位上$num$可能为负数(这不一定是非法的，因为我还没枚举完嘛，只要最终的$num>=0$才能判合法，中途某个$pos$就不一定了)，这里比较好处理，$Hash$嘛，最小就$-32$吧,直接加上$32$，把$32$当$0$用。这题主要是要想讲一下$lead$的用法，显然我要统计$0$的数量，前导零是有影响的。至于$!lead\&\&!limit$才能$dp$，都是类似的，自己慢慢体会吧。

三、实现代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
const int N = 32;

//整数范围，最大数字的二进制表示，有32位也足够
//状态范围：因为数字0的个数与数字1的个数的差，在中间过程中可能是负数，所以需要做一个偏移处理，映射到自然数的下标空间，也就是双倍空间足够
int f[N][N << 1];
int a[N];

int dfs(int pos, int st, bool lead, bool limit) {
    if (pos == 0) return st >= 32; //大于等于偏移量32，也就是count(0)-count(1)>=0,此时贡献数字1个
    if (!limit && !lead && ~f[pos][st]) return f[pos][st];

    int up = limit ? a[pos] : 1;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; i++) {
        //前一位是前导零的情况下,本位依然是0
        //(1)st不变，继续传送偏移量32，也就是count(0)-count(1)=0
        //(2)则需要继续传递前导零标识
        if (lead && i == 0)
            ans += dfs(pos - 1, st, true, limit && i == a[pos]); //有前导零就不统计在内
        else
            //场景1：前一位是前导零，本位不是0
            //场景2：前一位不是前导零，本位是0
            //场景3：前一位不是前导零，本位不是0
            //此三种场景，都不需要继续传递前导零标识，即lead=false
            //(1)如果本位是0，则传递st+1
            //(2)如果本位是1，则传递st-1
            ans += dfs(pos - 1, st + (i == 0 ? 1 : -1), false, limit && i == a[pos]);
    }

    if (!limit && !lead) f[pos][st] = ans;
    return ans;
}
int calc(int x) {
    int al = 0;
    while (x) {
        a[++al] = x & 1; //取出二进制的每一位表示，存入数组a中
        x >>= 1;
    }
    // pos=al:从al位开始
    // st=32:目前count(0)-count(1)=32,也就是默认加上了偏移量32
    // lead=true:需要考虑前导0
    // limit=true:贴上界
    return dfs(al, 32, true, true);
}
int main() {
    memset(f, -1, sizeof f);
    // 1 ≤ Start < Finish ≤ 2,000,000,000
    // INT_MAX=2147483647,看来Start和Finish还是在整数范围内
    int a, b;
    while (cin >> a >> b)
        printf("%d\n", calc(b) - calc(a - 1));

    return 0;
}