使用树状数组优化LIS问题

使用树状数组优化$LIS$问题

一、与贪心+二分的方法对比

树状数组可以用来优化$LIS$问题,与贪心+二分的优化方式相比

优点：

• 二分作法只能计算出当前序列的$LIS$,而树状数组可以计算出以每一个$a(i)$为结尾的$LIS_i$。(随进随查,不能算完一起来查)

• 学会了树状数组优化$LIS$后，后面有一道求最长上升序列和的问题，也可以使用树状数组优化为$O(nlogn)$，而贪心+二分则无法优化那道题。

缺点:

• 同样是$O(nlogn)$的复杂度，树状数组的常数更大，贪心+二分的常数更小。可以通过$AcWing 896$的提交日志查看到结果对比，当然，你也可以说是此网站的数据问题，但有一定的代表性：

贪心+二分	树状数组(静态)	树状数组(动态)
$194$ $ms$	$580$ $ms$	$851$ $ms$

• 贪心+二分的做法能计算出答案，想要获得具体方案则需要通过其它辅助办法记录路径。树状数组如果想要获得路径，也需要配合辅助数据进行计算(这个我没实验过)。

二、树状数组是怎么优化问题的？

注意
举个栗子更加形象的理解一下：

$$\LARGE　1　2　7　8　9　3　4　5　6$$

使用瞪眼大法可知，$LIS=6$,路径就是$1　2　3　4　5　6$。

每个元素，它总是试图找到它前面比它小的元素，看看接在人家后面，会不会给自己带来更大的利益。

以数字$7$为例，它首先想到的是找接在$6$后面，需要快速知道$1\sim 6$的最大值是多少。

使用树状数组，可以以$O(logN)$的速度去修改数据，以$O(logN)$的速度去统计数据。

树状数组只是一个优化，本质上还是原始的$O(n^2)$动态规划求$LIS$，解决的是在递推时计算$f[i]$时，优化了

for(int j=1;j<i;j++)
  if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1) 

因为这就是一个暴力的枚举过程，所以造成了$O(n^2)$的时间复杂度，现在想要找一个办法，将此处的寻找能接、可接的$f[i]$进行优化。

问题描述

• 我$a[i]$前面的
• 值比我小的:$a[j]<a[i]$
• 最大那个
• 我要接在它的后面 $f[j]+1$

解决办法

• 我$a[i]$前面的

  • for(i=0;i<n;i++)保证每个$a[i]$讨论时，都只关心它前面的计算结果。

• 值比我小的:$a[j]<a[i]$

  • 这个需要转化一下：复制数组进行排序+离散化，可以知道当前要处理的数字$a[i]$的排名，我只关心排名比我小的信息。

• 最大的那个

  • 采用的是用树状数组维护从开头到排名的最大值。 树状数组本质上是一个数据结构：

    • 对外提供：快速查询到目前为止，排名$k$位的$LIS[k]=query(k)$。

      注意:动态录入+动态获取!
      随着更多数据的录入，查询结果会变化，不能最终一并查询，只能是边录边查！

    • 内部实现：以二进制形式分块保存的统计数据，以本题而言，就是分块保存的范围内最大值，此最大值，并不能直接使用，对外提供查询功能时，需要枚举所有前序分块，汇总最大值。

举个栗子：

7
3 1 2 1 8 5 6

通过排序加去重，给每个数字都标识了它在原序列中排名是多少：

排序+去重数组$b[]$

下标	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
排名	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
数值	$1$	$2$	$3$	$5$	$6$	$8$

整出来个$b[]$数组有啥用呢？就是为了知道当前要操作的数字$a[i]$它的排名是多少，根据它的排名，可以知道它的前一名，查询到前一名时的最大$LIS$值，我接在它后面$+1$就是答案。

配合下面的树状数组结构图以便深入理解：

编写一个带调试信息的代码，输出调试信息，方便理解

$$talk　 is　 cheap,show　me　 your　 code!$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
const int N = 1e5 + 10;

int n, a[N];
int b[N], bl; //离散化数组，用于辅助树状数组
int c[N];     //树状数组
int res;      //结果

//计算x值在原序列中的排名
int get(int x) {
    return lower_bound(b, b + bl, x) - b + 1;
}

//单点更新x
void update(int i, int x) {
    for (; i <= bl; i += lowbit(i)) c[i] = max(c[i], x);
}

//求1~i的最大值
int query(int i) {
    int s = 0;
    for (; i; i -= lowbit(i)) s = max(s, c[i]);
    return s;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i];

    //离散化，用于获取 x值->排名k 的关系
    sort(b, b + n);
    // bl：去重后的长度
    bl = unique(b, b + n) - b;
    /*
    测试用例：
    7
    3 1 2 1 8 5 6
    */
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        puts("==============================================");
        printf("i:%d a[i]=%d\n", i, a[i]);
        int k = get(a[i]); // a[i]的排名k
        printf("rank:%d rank-1:%d\n", k, k - 1);
        int t = query(k - 1) + 1;
        printf("LIS[rank-1]:%d ", t - 1);
        printf("LIS[rank]:%d\n", t);
        res = max(res, t);
        update(k, t); //第k大的数，会接在第k-1大的数后面，才会获取到更大的连续LIS值
        puts("FenWickTree:");
        for (int i = 1; i <= bl; i++) printf("%d ", c[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

输出的结果：

==============================================
i:0 a[i]=3
rank:3 rank-1:2
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
0 0 1 1 0 0
==============================================
i:1 a[i]=1
rank:1 rank-1:0
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
1 1 1 1 0 0
==============================================
i:2 a[i]=2
rank:2 rank-1:1
LIS[rank-1]:1 LIS[rank]:2
FenWickTree:
1 2 1 2 0 0
==============================================
i:3 a[i]=1
rank:1 rank-1:0
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
1 2 1 2 0 0
==============================================
i:4 a[i]=8
rank:6 rank-1:5
LIS[rank-1]:2 LIS[rank]:3
FenWickTree:
1 2 1 2 0 3
==============================================
i:5 a[i]=5
rank:4 rank-1:3
LIS[rank-1]:2 LIS[rank]:3
FenWickTree:
1 2 1 3 0 3
==============================================
i:6 a[i]=6
rank:5 rank-1:4
LIS[rank-1]:3 LIS[rank]:4
FenWickTree:
1 2 1 3 4 4
==============================================

理解一下代码的执行流程

i:0 a[i]=3
rank:3 rank-1:2
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
0 0 1 1 0 0

$3$开始,查询到排名是$3$,查询前一个排名的$LIS[2]=query(2)$，第一个嘛，前面没有，所以是$0$,把它的排名在前序排名上面加$1$,记$c[3]=1$,含义为本片片长$c[3]$知道自己管辖范围内($a[3]$)的最长上升子序列长度为$1$。同时，向各级领导汇报，告诉$c[4]$,你的孩子$c[3]$目前$LIS$是$1$,你们看看用不用更新一下自己的最大值。如果此时要查询排名$3$以下的最长上升子序列长度值，就是执行$query(3)$,代码会去找$c[3]$和$c[2]$,$pk$大小后返回较大值。

---

i:1 a[i]=1
rank:1 rank-1:0
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
1 1 1 1 0 0

$1$开始,查询到排名是$1$，查询前一个排名的$LIS[0]=query(0)=0$，标识$c[1]=1$,同时也要向上尝试$PK$更新$c[2],c[4]$,结果$c[2]$被修改为$1$。

---

i:2 a[i]=2
rank:2 rank-1:1
LIS[rank-1]:1 LIS[rank]:2
FenWickTree:
1 2 1 2 0 0

$2$开始，查询到排名是$2$,查询前一个排名的$LIS[1]=query(1)$,知道前面最大值是$1$,则$c[2]=2$,同时更新$c[4]=2$

---

i:3 a[i]=1
rank:1 rank-1:0
LIS[rank-1]:0 LIS[rank]:1
FenWickTree:
1 2 1 2 0 0

$1$开始，查询到排名是$1$,查询前一个排名的$LIS[0]=query(0)=0$,将$c[1]$尝试修改为$1$,并尝试更新$c[2],c[4]$,当然，现在更新不了，人家原来的就比$1$大。

---

i:4 a[i]=8
rank:6 rank-1:5
LIS[rank-1]:2 LIS[rank]:3
FenWickTree:
1 2 1 2 0 3

$8$开始，查询到排名是$6$,查询前一个排名的$LIS[5]=query(5)$,此时$c[5]=0$,则$max(c[5],c[4])=2$,表示现在排名前$5$位之前的$LIS=2$,所以$c[6]=2+1=3$。

---

i:5 a[i]=5
rank:4 rank-1:3
LIS[rank-1]:2 LIS[rank]:3
FenWickTree:
1 2 1 3 0 3

$5$开始，查询到排名是$4$,查询前一个排名的$LIS[3]=query(3)=max(c[3],c[2])=2$,则$c[4]=2+1=3$

---

i:6 a[i]=6
rank:5 rank-1:4
LIS[rank-1]:3 LIS[rank]:4
FenWickTree:
1 2 1 3 4 4

$6$开始，查询到排名是$5$,查询前一个排名的$LIS[4]=query(4)==c[4]=3$,则$c[5]=3+1=4$

---

三、树状数组实现代码1

//运行时间： 601 ms
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
const int N = 1e5 + 10;

int n, a[N];
int b[N], bl; //离散化数组，用于辅助树状数组
int tr[N];    //树状数组
int res;      //结果

//计算x值在原序列中的排名
int get(int x) {
    return lower_bound(b, b + bl, x) - b + 1;
}

//单点更新x
void update(int i, int x) {
    for (; i <= bl; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], x);
}

//求tr[1]~tr[i]的最大值
int query(int i) {
    int s = 0;
    for (; i; i -= lowbit(i)) s = max(s, tr[i]);
    return s;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i];

    //离散化，用于获取 x值->排名k 的关系
    sort(b, b + n);
    // bl：去重后的长度
    bl = unique(b, b + n) - b;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int k = get(a[i]); //值a[i]的排名k
        int t = query(k - 1) + 1;
        res = max(res, t);
        update(k, t); //第k大的数，会接在第k-1大的数后面，才会获取到更大的连续LIS值
    }
    //输出
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

四、树状数组实现代码2

//运行时间： 582 ms
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
const int N = 1e5 + 10;

int n, a[N];
int b[N], bl; //离散化数组，用于辅助树状数组
int tr[N];    //树状数组
int res;      //结果

//计算x值在原序列中的排名
int get(int x) {
    return lower_bound(b, b + bl, x) - b + 1;
}

//单点更新x
void update(int i, int x) {
    for (; i <= bl; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], x);
}

//求tr[1]~tr[i]的最大值
int query(int i) {
    int s = 0;
    for (; i; i -= lowbit(i)) s = max(s, tr[i]);
    return s;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i];

    //离散化，用于获取 x值->排名k 的关系
    sort(b, b + n);
    // bl：去重后的长度
    bl = unique(b, b + n) - b;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int k = get(a[i]); //值a[i]的排名k
        int t = query(k - 1) + 1;
        update(k, t); //第k大的数，会接在第k-1大的数后面，才会获取到更大的连续LIS值
    }
    //输出
    printf("%d\n", query(bl));
    return 0;
}

五、树状数组实现代码3

//运行时间： 863 ms
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
const int N = 1e5 + 10;

int n, a[N];
//树状数组
int tr[N];
//离散化数组，提供指定值对应的排名,辅助树状数组
vector<int> b;
int res; //结果

//计算x值在原序列中的排名
int get(int x) {
    return lower_bound(b.begin(), b.end(), x) - b.begin() + 1;
}

//求tr[1]~tr[i]的最大值
int query(int i) {
    int s = 0;
    for (; i; i -= lowbit(i)) s = max(s, tr[i]);
    return s;
}

//单点更新x
void update(int i, int x) {
    for (; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], x); //注意这里是跳着取max,不是传统的sum求和
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        b.push_back(a[i]);
    }

    //离散化,用于存储a数组按值由小到大去重排序的结果，这样就可以使用二分查找  值->排名
    sort(b.begin(), b.end());
    b.erase(unique(b.begin(), b.end()), b.end());

    for (int i = 1; i <= n; i++) { //按原输入序进行遍历，这样才符合LIS的要求
        int k = get(a[i]);         //获取值a[i]的整体大小排名k
        int t = query(k - 1) + 1;  //在树状数组中查找排名为k-1的最大数量，再加1才是当前连接上后的数量
        update(k, t);              //将排名k更新目前最优解t
    }
    //输出
    printf("%d\n", query(b.size()));
    return 0;
}

六、总结与感悟

• 树状数组用于快速查询$O(logN)$前缀和，区间和，区间$[1\sim i]$的最大值。
• 树状数组强调的是　一边修改一边查询的场景，纯静态的、离线查询的，不如原始前缀和。
• 树状数组中保存的数据，是具有片断性的， 不能直接拿来用，要现用现组装。(不要和我犟说$c[4],c[8]$就不用组装之类的话~)
• 树状数组能做的事：单点修改，可使用减法原则的区间查询，对于区间修改请移步线段树。
• 相对线段树，代码量少。