AcWing 122 糖果传递
\(AcWing\) \(122\) 糖果传递
一、题目描述
有 \(n\) 个小朋友坐成一圈，每人有 \(a[i]\) 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 \(1\)。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式
第一行输入一个正整数 \(n\)，表示小朋友的个数。
接下来 \(n\) 行，每行一个整数 \(a[i]\)，表示第 \(i\) 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式
输出一个整数，表示最小代价。
数据范围
\(1≤n≤1000000,0≤a[i]≤2×10^9,\)数据保证一定有解。
输入样例：
4
1
2
5
4
输出样例：
4
二、解题思路
-
假设第\(1\)个小朋友有\(a_1\)颗糖果，给第\(2\)个小朋友\(x_1\)颗糖果，从\(n\)获得\(x_n\)颗糖果，此时，他有\(a_1-x_1+x_n\)颗糖果，同理，第\(2\)个有\(a_2-x_2+x_1\)，第\(3\)有...
-
每个小朋友的目标为平均数\(avg\),列出约束方程为
\[\large \left\{\begin{matrix} a_1-x_1+x_n=avg & \\ a_2-x_2+x_1=avg & \\ a_3-x_3+x_2=avg & \\ ... \\ a_n-x_n+x_{n-1}=avg \end{matrix}\right. \]我们的目标：
\[\large min(|x_1|+|x_2|+...+|x_n|) \]
下面，我们用\(x_n\)来表示上面的方程组：替代\(x_1,x_2,...,x_{n-1}\)
\[\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=a_1+x_n-avg \\
x_2=a_2+x_1-avg =(a_1+a_2)-2*avg+x_n & \\
x_3=a_3+x_2-avg =(a_1+a_2+a_3)-3*avg+x_n & \\
... \\
x_{n-1}=(a_1+a_2+...+a_{n-1})-(n-1)*avg+x_n & \\
\end{array}\right.
\]
将\(x_k\)定为变量 , 常数 定义为\(c_k\)，则：
\[\large \displaystyle c_k=\sum_{i=1}^{k}a_i -k*avg
\]
有：
\[\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=c_1+x_n \\
x_2=c_2+x_n \\
... \\
x_{n-1}=c_{n-1}+x_n
\end{array}\right.
\]
因为\(x_1,x_n\)都是可正可负的，正的表示把这些糖果给了别人，负的表示别人把这些糖果给了自己。
所以，可以令\(x_n'=-x_n\)
上面的方程组转化为
\[\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=c_1-x_n' \\
x_2=c_2-x_n' \\
... \\
x_{n-1}=c_{n-1}-x_n'
\end{array}\right.
\]
此时，我们的目标也就转化为:
\[\large min(|c_1-x_n'|+|c_2-x_n'|+...+|c_{n-1}-x_n'|)
\]
注意到 \(|c_i-x_n'|\)的几何意义是数轴上的点\(c_i\)到\(x_n'\)的距离，所以问题变成了：
给定数轴上的\(n\)个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数,问题再次转化为经典问题：
\(AcWing\) \(104\).仓库选址 ，只需要求中位数和其他数的差值的总和就可以了。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;
LL a[N], c[N], sum, avg, n, res;
int main() {
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
avg = sum / n;
// c[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])-k*avg
// c[k-1]=(a[1]+a[2]+...+a[k-1])-(k-1)*avg
// 努力找出c[k]与 c[k-1]之间的递推关系：
// c[k]=c[k-1]+a[k]-avg
// 所以,c数组可以通过递推得到
for (int k = 1; k <= n; k++) c[k] = c[k - 1] + a[k] - avg;
// 通过排序 => c[(n+1)/2] = 中位值
sort(c + 1, c + n + 1);
// 将x_n'放到中位值处，这样，几何含义上所有n 个位置上c1,c2,...cn到中位值的距离绝对值和最小
for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
cout << res << endl;
return 0;
}
