AcWing 122 糖果传递

$AcWing$ $122$ 糖果传递

一、题目描述

有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有 $a[i]$ 个糖果。

每人只能给左右两人传递糖果。

每人每次传递一个糖果代价为 $1$。

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式
第一行输入一个正整数 $n$，表示小朋友的个数。

接下来 $n$ 行，每行一个整数 $a[i]$，表示第 $i$ 个小朋友初始得到的糖果的颗数。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
$1≤n≤1000000,0≤a[i]≤2×10^9,$数据保证一定有解。

输入样例：

4
1
2
5
4

输出样例：

4

二、解题思路

• 假设第$1$个小朋友有$a_1$颗糖果，给第$2$个小朋友$x_1$颗糖果，从$n$获得$x_n$颗糖果，此时，他有$a_1-x_1+x_n$颗糖果，同理，第$2$个有$a_2-x_2+x_1$，第$3$有...

• 每个小朋友的目标为平均数$avg$,列出约束方程为

  $$\large \left\{\begin{matrix} a_1-x_1+x_n=avg & \\ a_2-x_2+x_1=avg & \\ a_3-x_3+x_2=avg & \\ ... \\ a_n-x_n+x_{n-1}=avg \end{matrix}\right.$$

  我们的目标：
  

  $$\large min(|x_1|+|x_2|+...+|x_n|)$$

下面，我们用$x_n$来表示上面的方程组：替代$x_1,x_2,...,x_{n-1}$

$$\large \left\{\begin{array}{l} x_1=a_1+x_n-avg \\ x_2=a_2+x_1-avg =(a_1+a_2)-2*avg+x_n & \\ x_3=a_3+x_2-avg =(a_1+a_2+a_3)-3*avg+x_n & \\ ... \\ x_{n-1}=(a_1+a_2+...+a_{n-1})-(n-1)*avg+x_n & \\ \end{array}\right.$$

将$x_k$定为变量 , 常数 定义为$c_k$，则：

$$\large \displaystyle c_k=\sum_{i=1}^{k}a_i -k*avg$$

有：

$$\large \left\{\begin{array}{l} x_1=c_1+x_n \\ x_2=c_2+x_n \\ ... \\ x_{n-1}=c_{n-1}+x_n \end{array}\right.$$

因为$x_1,x_n$都是可正可负的，正的表示把这些糖果给了别人，负的表示别人把这些糖果给了自己。

所以，可以令$x_n'=-x_n$

上面的方程组转化为

$$\large \left\{\begin{array}{l} x_1=c_1-x_n' \\ x_2=c_2-x_n' \\ ... \\ x_{n-1}=c_{n-1}-x_n' \end{array}\right.$$

此时，我们的目标也就转化为:

$$\large min(|c_1-x_n'|+|c_2-x_n'|+...+|c_{n-1}-x_n'|)$$

注意到 $|c_i-x_n'|$的几何意义是数轴上的点$c_i$到$x_n'$的距离，所以问题变成了：

给定数轴上的$n$个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数,问题再次转化为经典问题：
$AcWing$ $104$.仓库选址 ，只需要求中位数和其他数的差值的总和就可以了。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000010;
typedef long long LL;

LL a[N], c[N], sum, avg, n, res;

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
    avg = sum / n;

    // c[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])-k*avg
    // c[k-1]=(a[1]+a[2]+...+a[k-1])-(k-1)*avg
    // 努力找出c[k]与 c[k-1]之间的递推关系：
    // c[k]=c[k-1]+a[k]-avg
    // 所以,c数组可以通过递推得到
    for (int k = 1; k <= n; k++) c[k] = c[k - 1] + a[k] - avg;

    // 通过排序 => c[(n+1)/2] = 中位值
    sort(c + 1, c + n + 1);
    // 将x_n'放到中位值处，这样，几何含义上所有n 个位置上c1,c2,...cn到中位值的距离绝对值和最小
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);

    cout << res << endl;
    return 0;
}