AcWing 99. 激光炸弹

\(AcWing\) \(99\). 激光炸弹

一、题目描述

地图上有 \(N\) 个目标，用整数 \(X_i,Y_i\) 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 \(W_i\)。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 \(R×R\) 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 \(x，y\) 轴平行。

求一颗炸弹 最多 能炸掉地图上 总价值为多少 的目标。

输入格式
第一行输入正整数 \(N\) 和 \(R\)，分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量，数据用空格隔开。

接下来 \(N\) 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 \(X_i,Y_i,W_i\)，分别代表目标的 \(x\) 坐标，\(y\) 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
\(0≤R≤10^9\)
\(0<N≤10000\)
\(0≤X_i,Y_i≤5000\)
\(0≤W_i≤1000\)

输入样例：

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例：

1

二、坑点

• 想使用二维前缀和，不能使用原数组+前缀和数组的办法，因为每个数组是\(5000 \times 5000\)这么大，就是\(5000 \times 5000 \times 4bytes\)，\(5000 \times 5000 \times 4/1024/1024=95MB\)，这题的空间是\(168MB\)，所以两个数组会\(MLE\),一个数组就行了，在自己身上求前缀和

• \(x,y\)坐标是从\(0\)开始的,我们一般的一维前缀和、二维前缀和，下标是从\(1\)开始的,需要做一下坐标的\(+1\)变换

• 炸弹的范围会超过\(5000\)，而且如果是范围是\(0\)直接返回\(0\)

三、二维前缀和

假设在一个二维平面上，每个点具有一定的权值，我们要计算点\((2，2)\) 到 \((8，4)\)的权值和

首先我们要找到这么几块面积：

我们可以发现，我们所要求的黄色区域，就是 黑色 - 绿色 - 粉色 + 青色

我们把\((x_i,y_i)\)作为一个格子,但是实际上他们只是一个点,所以说我们不妨认为这个点就是这个格子的中心,既然如此的话我们就可以认为是\((x_i+0.5,y_i+0.5)\)

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5010, M = 5001;
// 前缀和数组
int s[N][N];

int main() {
    // n:点的数量，R:边长
    int n, R;
    cin >> n >> R;

    // 这里本题数据有些坑，R有时输入会比我们整个矩阵大，所以这里设置输入的R过大，就直接取M
    R = min(R, M); // R太大，对于我们来说没有意义，因为它>5001时，就把所有位置全部摧毁掉~

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x, y, w;
        cin >> x >> y >> w;
        // 因为每题的(x,y)是默认下标从0开始，与前缀和的习惯不太相符，所以，这里直接将原坐标x+1,y+1，映射到下标从(1,1)开始
        x++, y++;     // 0≤Xi,Yi≤5000
        s[x][y] += w; // 不同目标可能在同一位置,s数组同时也充当了a数组
    }

    // 二维前缀和公式
    for (int i = 1; i <= M; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    // 枚举所有边长为R的正方形，取最大值就OK了(枚举的是右下角) => (R-1)*(R-1)的矩阵
    int res = 0;
    for (int i = R; i <= M; i++)
        for (int j = R; j <= M; j++) // 二维前缀和应用
            res = max(res, s[i][j] - s[i - R][j] - s[i][j - R] + s[i - R][j - R]);

    // 输出结果
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}