AcWing 1319. 移棋子游戏

\(AcWing\) \(1319\). 移棋子游戏

一、题目描述

给定一个有 \(N\) 个节点的 有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。

玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。

对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。

输入格式
第一行，三个整数 \(N,M,K\)，\(N\) 表示图中节点总数，\(M\) 表示图中边的条数，\(K\) 表示棋子的个数。

接下来 \(M\) 行，每行两个整数 \(X,Y\) 表示有一条边从点 \(X\) 出发指向点 \(Y\)。

接下来一行， \(K\) 个空格间隔的整数，表示初始时，棋子所在的节点编号。

节点编号从 \(1\) 到 \(N\)。

输出格式
若先手胜，输出 win，否则输出 lose。

数据范围
\(1≤N≤2000,1≤M≤6000,1≤K≤N\)

输入样例：

6 8 4
2 1
2 4
1 4
1 5
4 5
1 3
3 5
3 6
1 2 4 6

输出样例：

win

二、解题思路

1、\(SG\)函数

首先定义 \(mex\) 函数，这是施加于一个集合的函数，返回　最小的不属于这个集合的非负整数

例：\(mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3\)

在一张有向无环图中，对于每个点 \(u\)，设其 所有能到的点 的 \(SG\) 函数值集合为集合 \(A\)，那么 \(u\) 的 \(SG\) 函数值为 \(mex(A)\)，记做 \(SG(u)=mex(A)\)

如图：

例图解释：

\(SG(5)=mex({\phi})=0\)
\(SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1\)
\(SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2\)
\(SG(2)=mex({SG(3)})=mex({1})=0\)
\(SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1\)

2、本题和 \(SG\) 函数有什么关系？

下面先说本题做法，再证明该方法正确性。

做法：求出每个棋子所在的点的 \(SG\) 函数值，将所有值异或起来。若异或值不为 \(0\)，则输出\(win\)，否则输出\(lose\)

证明：
首先，由于这是一张有向无环图，所以游戏最后一定会结束，也就是说每个棋子最后都会移动到一个点上，且该点没有任何能到达的点。

根据定义，结束状态的所有点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\)，做法对于结束状态可行。

所以接下来，只要证明出

• ① 任何一种每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来非 \(0\) 的情况，一定能通过一次移动棋子，到达一个 每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况

• ② 任何一种每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况，一定不能通过一次移动棋子，到达一个每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值异或起来为 \(0\) 的情况

那么做法就是对的

证明 \(1\)：
设每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值分别为 \(a_1,a_2,⋯,a_n\)
设 \(x=a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n\)，此时\(x\)一定不等于\(0\)。
设 \(x\) 的最高位为第 \(k\) 位，那么在 \(a_1,a_2,⋯,a_n\) 中，一定有一个值的第 \(k\) 位为 \(1\)。
设该值为 \(a_i\)，那么由于 \(x\) 的第 \(k\)位和 \(a_i\) 的第 \(k\) 位都是 \(1\),且,第 \(k\) 位是 \(x\) 的最高位，所以 \(a_i XOR x\) 一定小于 \(a_i\)

又因为 \(a_i\) 是其中一个棋子所在点的 \(SG\) 函数值，那么根据 \(SG\) 函数值的定义，该点能到达的所有点中，一定存在一个点的 \(SG\) 函数值为 \(a_i XOR x\)

那么我们就可以将该点上的棋子，移到一个 \(SG\) 函数值为 \(a_i XOR x\) 的点上去

移完之后，原来每个棋子所在点的 \(SG\) 函数异或值就变为了 \(a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_{i−1} XOR (a_i XOR x) XOR a_{i+1} ⋯ XOR a_n\)

\(=(a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n) XOR x=x XOR x=0\)

① 证毕

证明 \(2\)：
反证法，设将点 \(u\) 上的棋子移动到点 \(v\) 上后，每个棋子所在点的 \(SG\) 函数值仍然为 \(0\)
那就说明 \(SG(u)=SG(v)\)，不符合 \(SG\) 函数的定义，不成立
② 证毕

所以做法是正确的。

3、如何求出每个点的 \(SG\) 函数值呢？

记忆化搜索就好啦~
每层记忆化搜索中，如果该点的 \(SG\) 函数值已经被计算出，那就直接返回该值。否则用一个 \(set\) 记录每个点能到的所有点的 \(SG\) 函数值集合，然后从 \(0\) 开始遍历，找到第一个 \(set\) 里面没有的数，将该值记录在该点上并返回。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 2010, M = 6010;

// SG函数模板题
int n, m, k;
int f[N];

int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int sg(int u) {
    //记忆化搜索
    if (~f[u]) return f[u];

    //找出当前结点u的所有出边，看看哪个sg值没有使用过
    set<int> S;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        S.insert(sg(e[i]));

    //找到第一个没有出现的过的自然数， 0,1,2,3,4,...
    for (int i = 0;; i++)
        if (S.count(i) == 0) {
            f[u] = i;
            break;
        }
    return f[u];
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m >> k;
    while (m--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    memset(f, -1, sizeof f); //初始化sg函数的结果表
    int res = 0;
    while (k--) {
        int u;
        cin >> u;
        res ^= sg(u); //计算每个出发点的sg(u)，然后异或在一起
    }

    if (res) //所有出发点的异或和不等于0,先手必胜
        puts("win");
    else //所有出发点的异或和等于0，先手必败
        puts("lose");

    return 0;
}