HDU 3501 Calculation 2

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一、题意

求解$1\sim n$与$n$不互质的数的和。

二、欧拉函数解法

定义：欧拉函数是小于$n$的数中与$n$互质的数的数目。
例如$φ(8)=4$，因为$1,3,5,7$均和$8$互质。

$sum(n)=\phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+...+\phi(n-1)+\phi(n)$

利用欧拉函数即可求解，$1 \sim n$比$n$小且与$n$互素的数的总和为$sum(n) = n * phi(n) / 2$;
那么可以先求出$1\sim n-1$的总和，然后减去$sum(n)$即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const ULL mod = 1000000007;

ULL euler(ULL n) {
    ULL res = n, a = n;
    for (ULL i = 2; i * i <= a; i++) {
        if (a % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (a % i == 0) a /= i;
        }
    }
    if (a > 1) res = res / a * (a - 1);
    return res;
}

int main() {
    ULL n;
    while (~scanf("%llu", &n), n) {
        ULL sum = n * (1 + n) / 2 - n, ans;
        ans = sum - euler(n) * n / 2;
        printf("%llu\n", ans % mod);
    }
    return 0;
}

三、分解质因数+容斥原理

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1000000007;

int main() {
    LL n, m;
    while (cin >> m && m) {
        if (m == 1) {
            cout << "0" << endl;
            continue;
        }

        n = m;
        //分解质因数
        vector<LL> p;
        for (LL i = 2; i * i <= n; i++) {
            if (n % i == 0) {
                p.push_back(i);
                while (n % i == 0)
                    n = n / i;
            }
        }
        if (n > 1) p.push_back(n);

        LL ans = 0;
        for (int i = 1; i < (1 << p.size()); i++) {
            int cnt = 0;
            int t = 1;
            for (int j = 0; j < p.size(); j++) {
                if (i >> j & 1) {
                    cnt++;
                    t *= p[j];
                }
            }
            LL num = (m - 1) / t;
            LL tmp = (t + t * num) * num / 2;
            if (cnt & 1)
                ans += tmp;
            else
                ans -= tmp;
        }
        cout << ans % mod << endl;
    }
    return 0;
}