HDU 1796 How many integers can you find

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一、容斥典型问题

求在给定区间内，能被给定集合至少一个数整除的数个数

二、解题思路

将给出的$n$个整除的数进行二进制枚举($2^n$),计算$a_i$所能组成的各种集合（这里将集合中$a_i$的最小公倍数作为除数）在区间中满足的数的个数，然后利用容斥原理实现加减

三、同类问题

AcWing 890. 能被整除的数
与这个模板题相对，增加了两个变化：

• 1、在给定的数中由于他们的关系不是互质的，所以要计算他们的$lcm$,而不是他们直接相乘 比如 $2$ $4$
• 2、在题目中说给定的数是非负的，所以在样例会会出现$0$，在计算时要将其拿掉~

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 15;
LL a[N];
LL p[N], idx;

//最小公倍数
LL lcm(LL a, LL b) {
    return a * b / __gcd(a, b);
}

int main() {
    //加快读入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n, m;
    while (cin >> n >> m) {
        n--; // small than N 注意细节

        idx = 0; //多组测试数据，注意清0

        for (int i = 0; i < m; i++) cin >> a[i];

        for (int i = 0; i < m; i++)
            if (a[i]) p[idx++] = a[i]; //排除掉数字0

        LL res = 0;
        for (int i = 1; i < (1 << idx); i++) {
            int cnt = 0;
            LL t = 1;
            for (int j = 0; j < idx; j++) {
                if (i >> j & 1) {
                    cnt++;
                    t = lcm(t, p[j]);
                }
            }
            if (cnt & 1)
                res += n / t;
            else
                res -= n / t;
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}