hdu 2841 Visible Trees

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一、题意

给一个$n*m$的矩阵，左下角为$(1,1)$，右上角为$(n,m)$，问从$(0,0)$点可以看到多少个点。

二、分析

如果$(0,0)−>(x,y)$和$(0,0)−>(x′,y′)$两个向量共线，即$(0,0),(x,y),(x′,y′)$三点共线，那后面的那个点$(x′,y′)$就看不到了。

如果三点共线，那么向量$(x′,y′)$一定可以表示成$(kx,ky)$(其中$k \in Z^+$且$k>1$,$kx<=n,ky<=m$)，因此对于一个数对$(x，y)$,如果它们存在公因数，那么一定可以化简成最简，即互质的形式，那么这个互质的数对构成的向量应该是和原向量共线的，因此我们只能看到最前面那个互质的数对构成的点,其它不互质的都会被它前面的某个互质的挡住。

因此题目转变成求区间$[1,m],[1,n]$之间互质数的对数

求解办法：
选取一个区间（为了优化选取小区间）比如说选取$[1,n]$，枚举$n$里面的数$i$，然后对于每个数$i$我们看它在$[1,m]$区间内能找到多少互质的数，把这些结果全部累加起来即可。

所以问题的最后变为了，给定一个数字$x$，找出它和$1$到$y$里面有多少个数互质。

三、容斥原理解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;

//返回1-m中与n互素的数的个数
vector<LL> p;
LL cal(LL n, LL m) {
    p.clear();
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            p.push_back(i);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) p.push_back(n); //求n的素因子

    int num = p.size(); //素因子的个数
    LL s = 0;           // 1到m中与n不互素的数的个数

    //枚举子集，不能有空集，所以从1开始
    for (LL i = 1; i < 1 << num; i++) { //从1枚举到(2^素因子个数)
        LL cnt = 0;
        LL t = 1;
        for (LL j = 0; j < num; j++) { //枚举每个素因子
            if (i & (1 << j)) {        //有第i个因子
                cnt++;                 //计数
                t *= p[j];             //乘上这个质因子
            }
        }
        //容斥原理
        if (cnt & 1) //选取个数为奇数，加
            s += m / t;
        else //选取个数为偶数，减
            s -= m / t;
    }
    return m - s; //返回1-m中与n互素的数的个数
}

int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        LL a, b;
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        LL res = 0;
        //从1~n(b现在就是n)之间，找到所有与m(m现在就是i)互质的数字个数
        for (int i = 1; i <= a; i++) res += cal(i, b);
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}