莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

要学习莫比乌斯函数 需要学习 到 积性函数，深度理解 欧拉筛 。

一、积性函数

1. 定义

积性函数：若\(gcd(a,b)=1\)，且满足\(f(a*b)=f(a)*f(b)\)，则称\(f(x)\)为 积性函数

完全积性函数：对于任意正整数\(a，b\)，都满足\(f(a*b)=f(a)*f(b)\)，则称\(f(x)\)为 完全积性函数

2. 性质

1.若\(f(n),g(n)\)均为积性函数，则函数\(h(n)=f(n)*g(n)\)也是积性函数

2.若\(f(n)\)为积性函数，则函数\(c*f(n)\)(\(c\)是常数)也是积性函数，反之一样

3.任何积性函数都能应用线性筛，在\(O(n)\)时间内求出\(1\sim n\)项(莫比乌斯函数要用到)，像素数，欧拉函数等都是 积性函数。

二、莫比乌斯函数

1. 定义

莫比乌斯函数是以\(19\)世纪的数学家亚当·莫比乌斯的名字命名的。它是数论中的一个重要函数，通常用符号 \(μ(n)\) 表示。

莫比乌斯函数的返回值有三种情况：

• ① 若\(n=1,μ(n) =1\)

• ② 若\(n\)存在有大于\(1\)方数因数（如\(4\)(\(2\)平方)，\(9\)(\(3\)的平方)，\(27\)(\(3\)的立方），则\(μ(n) =0\)

• ③ \(μ(n)\) 的结果取决于\(n\)根据 算数基本定理 分解的 质因数个数的奇偶性 来判断。比如\(n=3，5，7\)就只有一个质因数所以为\(μ(n)=-1\)，\(n=6,15,21\)，\(μ(n)\)就为\(1\)。

2. 求单个数字的莫比乌斯函数值

//单个数的莫比乌斯函数
int getmob(LL x) {
    int sum = 0;
    for (LL i = 2; i <= x / i; i++) { //从2开始，一直到 sqrt(x),枚举所有可能存的小因子
        int cnt = 0;
        if (x % i == 0) {                     //如果x可以整除i
            while (x % i == 0) cnt++, x /= i; //计数，并且不断除掉这个i因子
            if (cnt > 1) return 0;            //如果某个因子，存在两个及以上个，则返回0
            sum++;                            //记录因子个数
        }
    }
    if (x != 1) sum++;         //如果还存在另一个大因子，那么因子个数+1
    return (sum & 1) ? -1 : 1; //奇数个因子，返回-1,否则返回1
}

3.枚举倍数求莫比乌斯函数(埃氏筛)

//枚举倍数求莫比乌斯函数
LL mu[N] , sum[N];
void mobius(LL x) {
    mu[1] = 1;
    for (LL i = 1; i <= x; i++)
        for (LL j = i + i; j <= x; j += i)
            mu[j] -= mu[i];
    // 维护u(x)前缀和
    for (LL i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}

4.枚举约数求莫比乌斯函数(欧拉筛)

视频讲解

LL mu[N] , sum[N];
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_mobius2(LL n) {
    mu[1] = 1;
    for (LL i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (LL j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            LL t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[t] = 0;
                break;
            }
            mu[t] = mu[i] * -1;
        }
    }
     // 维护u(x)前缀和
    for (LL i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}

三、练习题

我们举例一道经典的应用题，求\(1\)到\(N\)中与\(a\)互质的数的个数：那么根据容斥原理，设\(S_i\)为\(1\)到\(N\)中和\(a\)有公因子\(i\)的数的个数，答案为\(N−S_2-S_3-S_5-S_7...+S_{2,3}+S_{3,5}+S_{2,5}...\),我们可以惊奇的发现，其答案为\(\large \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\mu(i)*S_i\)。

我们可以根据线性筛质数在\(O(N)\)的时间内算出前\(N\)个数的 莫比乌斯函数。