AcWing 199. 余数之和

\(AcWing\) \(199\). 余数之和

一、题目描述

给出正整数 \(n\) 和 \(k\)，计算 \(j(n,k)=k~mod~1+k~mod~2+k~mod~3+…+k~mod~n\) 的值。

例如 \(j(5,3)=3~mod~1+3~mod~2+3~mod~3+3~mod~4+3~mod~5=0+1+0+3+3=7\)。

输入格式
输入仅一行，包含两个整数 \(n,k\)。

输出格式
输出仅一行，即 \(j(n,k)\)。

数据范围
\(1≤n,k≤10^9\)

输入样例：

5 3

输出样例：

7

二、数论分块的理论

\[\large \displaystyle f(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor ~ (i \in [1,n]) \]

举个例子，\(n = 5\)
\(f(1)=5,f(2)=2,f(3)=f(4)=f(5)=1\)，一字排开，得到\(5,2,1,1,1\)，相同的分到一个　块 中，直观一点，写成：\([5],[2],[1,1,1]\)

注：(此图不是特别贴切，因为这个图中\(x\)是实数，而本题是整数)

三、题解

题意：给出\(n,k\),求 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}k \ mod \ i\)。

首先取模形式十分不好处理，所以我们可以根据取模运算定义做一个 小小的变换：

\[\large \sum_{i=1}^nk \ mod \ i=\sum_{i=1}^n(k-⌊\frac{k}{i}⌋\cdot i) \]

注：取模的概念

提取出定值 \(k\)，进一步简化为求

\[\large n \cdot k-\sum_{i=1}^n ⌊\frac{k}{i}⌋\cdot i \]

我们发现重点在于求\(\large \displaystyle \sum_{i=1}^n ⌊\frac{k}{i}⌋ \cdot i\)。

我们可以尝试寻找规律，不难发现\(\large \displaystyle ⌊\frac{k}{i}⌋\)的值 呈块状分布（即结果数组分成若干块，每块中值相等），这种东西还有另一个名字：整除分块。

首先 一个块内部 的答案显然是好求的，设块起点为 \(l\)，终点为 \(r\)，则此块的贡献为\(\large \displaystyle ⌊\frac{k}{l}⌋ \cdot \sum_{i=l}^r i\)。

由于第一个块起点已知（\(1\)），第二个块的起点即为第一个块 终点加一，所以我们需要快速 根据起点求出一个块的终点。

首先由于 块内值 都相同，可以设 \(\large \displaystyle x= ⌊\frac{k}{l}⌋= ⌊\frac{k}{r}⌋\)

根据 \(\displaystyle \large x=⌊\frac{k}{r}⌋\) ① \(\Rightarrow\) 变形 $\Rightarrow $ \(\large \displaystyle x \cdot r \leq k\) \(\Rightarrow\) 变形 \(\Rightarrow\) \(\large \displaystyle r \leq ⌊\frac{k}{x}⌋\) ②

将\(\large \displaystyle x=⌊\frac{k}{l}⌋\) ① 代入 ②,得\(\large \displaystyle r \leq ⌊\frac{k}{⌊\frac{k}{l}⌋}⌋\),这样就确定了\(r\)的右边界。

注：当\(k,l\)确定时，\(r\)的上限就已经确定，同时，由于第一起点块的\(l=1\)，我们就可以一路向后递推找出所有块的右边界！一旦有了右边界，就可以利用 \(\large \displaystyle ⌊\frac{k}{l}⌋\cdot \sum_{i=l}^ri\)来快速计算出区间和。

最后分析一下这么做的 时间效率：

当 \(i>\sqrt{n}\) 时，\(\large \displaystyle ⌊\frac{k}{i}⌋ \leq \sqrt{n}\),也就是说原式只有小于 \(\sqrt{k}\) 种取值。

注：纯粹的数学思考，除以一个$ \geq \sqrt{n}\(的值，\)n,k\(是同一个数据级别\)\leq 10^9\(，结果值当然是\)\leq \sqrt{n}$

当\(i \leq \sqrt{n}\)时，\(i\)只有小于\(\sqrt{k}\)种取值，也就是说原式也只有小于\(\sqrt{k}\)种取值。

所以最多有 \(2\sqrt{n}\) 个块，我们对于每个块可以 \(O(1)\) 计算，时间可以通过。

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

// 数论分块模板题，是很多题的基础，需要背诵
//  j(n,k)=k%1+k%2+k%3+…+k%n
int n, k, l, r;
int ans;
signed main() {
    cin >> n >> k;
    ans = n * k;                                    // 看题解的推导公式
    for (l = 1; l <= n; l = r + 1) {                // 枚举左端点,每次跳着走，下次的位置就是本次r的位置+1
        if (k / l == 0) break;                      // 1、当k/l=0的时候，显然这段以及后面（有单调性）已经没有贡献了，可以 break。
        r = min(k / (k / l), n);                    // 2、注意右端点和n取个min，因为>n没有贡献了。
        ans -= (k / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2; // 等差数列求和：左到右边界内，是公差为1的等差数列，首项+末项 乘以 项数 除以2
    }
    cout << ans << endl;
}