取整函数及其性质

取整函数及其性质

1、取整函数定义及分类

取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

• Floor and ceiling functions - Wikipedia

• Useful Properties of the Floor and Ceil Functions

下取整函数在数学中一般记作$\left \lfloor x \right \rfloor$，比自己小的最大整数，在计算机科学中一般记作$floor(x)$；

上取整函数在数学中一般记作$\left \lceil x \right \rceil$，比自己大的最小整数，在计算机科学中一般记作$ceil(x)$。

2、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质)

• 任意实数$x$,有: $x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1$
  
  

• 下取整函数为等幂运算: $\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor.$
  
  

• 对任意的整数 $k$ 和任意实数 $x$，$\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor$
  
  

• 一般的数值修约规则可以表述为将$x$映射到 $floor(x + 0.5)$。
  
  

• $\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor$
  
  

• 对于整数$k$有：$\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k$

3、对数与取整函数的关系

二者关系为:

$\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1$

证明：

令$m = \left \lfloor \log x \right \rfloor$，

则 $m \leq \log x < m+1$ ①

由式①可得

$2^{m} \leq x < 2^{m+1}$ ②,

进而可得

$2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}$

因为 $x\in Z$, 所以 $m < \log (x+1) \leq m+1$.

所以 $\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1$.

4、向下取整与向上取整的转换方法

我们知道，一般在程序语言中，两个整数相除都是向下取整。例如，$5/3=1,2/3=0$；

那么向上取整该如何表示呢，也就是说，向上取整能不能通过向下取整的方式来表达？

当然可以，下面是转换公式：