AcWing 208. 开关问题(高斯消元)
\(AcWing\) \(208\). 开关问题(高斯消元)
一、题目描述
有 \(N\) 个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。
你的目标是经过若干次开关操作后使得最后 \(N\) 个开关达到一个特定的状态。
对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。
你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）
输入格式
输入第一行有一个数 \(K\)，表示以下有 \(K\) 组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行：一个数 \(N\)。
第二行：\(N\) 个 \(0\) 或者 \(1\) 的数，表示开始时 \(N\) 个开关状态。
第三行：\(N\) 个 \(0\) 或者 \(1\) 的数，表示操作结束后 \(N\) 个开关的状态。
接下来每行两个数 \(I,J\)，表示如果操作第 \(I\) 个开关，第 \(J\) 个开关的状态也会变化。
每组数据以 \(0\) \(0\) 结束。
输出格式
每组数据输出占一行。
如果有可行方法，输出总数，否则输出 Oh,it's impossible~!! 。
数据范围
\(1≤K≤10,0<N<29\)
输入样例：
2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0
输出样例：
4
Oh,it's impossible~!!
二、异或知识
灯,有一个明显的特征，原来是亮的，按一下就灭了；原来是灭的，按一下就亮了。
这明显就是一个 异或 操作,比如 0 ^ 1 = 1,1 ^ 1 = 0,也就是，不管原来是啥样，直接异或一个\(1\)就可以达到 目标状态。
- 一个值与自身的异或 总是为 \(0\)
x ^ x = 0
- 一个值与 \(0\) 异或 等于本身
x ^ 0 = x
- 可交换性
a ^ b = b ^ a
根据以上的四个特点
我们可以推导:
a ^ b = c
等式两边都增加对b的异或, 等价于
a ^ b ^ b = c ^ b
等式左边的 b^b=0, a^0=a, 所以有
a = c ^ b
最终相当于把 b 从等号左边转到等号右边来了.
上面的推论，一会在下面的解题中将会用到。
三、题目解析
对于任意一个开关，至多可以进行一次操作！这个非常重要，否则不断的关停，方案数就没头了~
我们使用 \(x_1、x_2、x_3\) 分别表示 是不是操作这个开关，没操作是\(0\)，操作了就是\(1\)。
以题目给出的例子来理解一下：
初始状态\(0,0,0\),目标状态\(1,1,1\)。
-
打开一个开关
-
假设我们操作第一个开关，题目中说了，操作\(1\)的话，开关\(1，2，3\)都会变化。初始状态都是\(0\),开一下开关\(1\)，则\(1,2,3\)全亮了，达到目标状态，看来只开开关\(1\)就是一种方案。
-
假设我们操作第二个开关，题目中说了，操作\(2\)的话，开关\(1，2，3\)都会变化。初始状态都是\(0\),开一下开关\(2\)，则\(1,2,3\)全亮了，达到目标状态，看来只开开关\(2\)就是一种方案。
-
假设我们操作第三个开关，题目中说了，操作\(3\)的话，开关\(1，2，3\)都会变化。初始状态都是\(0\),开一下开关\(3\)，则\(1,2,3\)全亮了，达到目标状态，看来只开开关\(2\)就是一种方案。
-
-
打开两个开关
- 如果我们选择两个打开,比如\(1,2\)，那么\(1\)打开所有的灯，结果被\(2\)全关了，不是目标状态。我们选择其它任意两个，都是一样的效果，结论就是选择两个打开是不行的。
-
打开三个开关
\(1\)打开，全亮；\(2\)打开，全灭；\(3\)打开，全亮。\(OK\)!
所以，结论就是有四种情况，分别是：只开\(1\),只开\(2\),只开\(3\),\(3\)个全开。
至此，示例数据理解了。按数学的形式写一下就是
\(x_1=1,x_2=0,x_3=0\)
\(x_1=0,x_2=1,x_3=0\)
\(x_1=0,x_2=0,x_3=1\)
\(x_1=1,x_2=1,x_3=1\)
按上面这样按下开关，就可以从状态\((0,0,0)\)到达目标状态\((1,1,1)\)。
我们只用数学符号\(x_i\)来描述某个开关是否进行了操作，还不足以描述整个事情，为什么呢？因为在数学公式中，没有体现出谁影响谁这个关键问题！需要进一步的进行抽象整理：
设\(a_{ij}\)表示当\(j\)开关按下时，相应的第\(i\)个开关也要发生变化。
举个栗子
对于开关\(1\),假设初始状态为\(s\),目标状态是\(t\),那么它会如何变化到\(t\)的呢？
肯定是操作了自己，或者是，操作了那些能影响它的开关~！
① \(a_{i,j}\): \(j\)按下，会影响开关\(i\)
它自己如何表示呢？ 就是\(a_{11}\)嘛，而且\(a_{11}\)肯定是\(1\),因为根据异或的性质，只有是\(1\)才能保证按下后出现相反状态！
影响的开关怎么表示呢？就是\(a_{1j}=1\)啊！这样才会表示\(j\)按下，影响开关\(1\)。而\(a_{1j}=0\)就是表示\(j\)不会影响\(1\)。
② \(x_i\): \(i\)号开关是否按下
这个玩意怎么理解呢？
- 比如\(x_1=1\),因为\(a_{11}=1\),所以当\(1\)号开关按下时，它的状态将会变化，可能是由\(0\)到\(1\)，也可能是由\(1\)到\(0\)。
- 比如\(x_n=1\),表示第\(n\)个开关操作了，但是，由于\(a_{1n}=0\)，也就是根据题意知道，操作\(n\)号开关，\(1\)号开关不会变化，那么\(n\)的变化，不会影响\(1\)后开关最后的状态。
进一下抽象，把这样\(n\)个开关的状态变化关系列出来，就是一个异或方程组，剩下的就是高斯消元求解异或方程组了。
这里面还需要一个小的变化：
x^y^z=t => y^z=t^x
这样就可以把\(x\)移动到右侧去。
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int gauss() {
int r = 1;
for (int c = 1; c <= n; c++) {
int t = r;
for (int i = r + 1; i <= n; i++)
if (a[i][c]) t = i;
if (!a[t][c]) continue;
swap(a[t], a[r]);
for (int i = r + 1; i <= n; i++)
for (int j = n + 1; j >= c; j--)
if (a[i][c]) a[i][j] ^= a[r][j];
r++;
}
int res = 1;
// 此时已经到了全零行
if (r < n + 1) {
for (int i = r; i <= n; i++) {
// 全零行的右边出现非零 无解
if (a[i][n + 1]) return -1; // 出现了 0 == !0，无解
// 如果出现了0=0这样的情况，可能是 0x1+0x2+0x3 这样的情况，
// 此时，不管x1,x3取什么值(0,1),都与结果无关，所以自由元数量的2次方就是答案
// 比如x1=0,x1=1-->2个答案
// 比如x2=0,x2=1-->2个答案
// 比如x3=0,x3=1....
// 同时这些 x1,x2,x3的取值是可以随意取的，每个有2种取法，是一个典型的乘法原理，即2*2*2*...，数量就是自由元的数量
// 现在就是循环中，所以，可以利用循环，每次乘2就完成了2次方的计算
res <<= 1;
}
}
return res;
}
int main() {
int T;
cin >> T; // T组测试数据
while (T--) {
memset(a, 0, sizeof a); // 多组测试数据，不清空OI一场空
cin >> n; // 开关个数
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i][n + 1]; // 初始状态
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 终止状态
int t; // 第i个开关的终止状态
cin >> t;
// s1: 1号开关的初始状态 t1:1号开关的结束状态
// x1 x2 x3 ... xn 1~n个开关是否按下，0：不按下，1：按下
// a13:3号开关影响1号开关状态， a1n:n号开关影响1号开关状态.
// 推导的方程
// 含义：从初始状态 s1开始出发，最终到达t1这个状态。
// 有些开关是可以影响1号开关的最终状态，有些变化了也不影响。我们把开关之间的关联关系设为a_ij,描述j开关变化，可以影响到i开关
// 如果 a_ij=0，表示j开关不会影响i开关，不管x_j=1，还是x_j=0都无法影响i开关的状态。
// s1^ a11*x1 ^ a12*x2 ^ a13*x3 ^ ... ^a1n*xn=t1
// <=>
// s1^ s1 ^ a11*x1 ^ a12*x2 ^ a13*x3 ^ ... ^a1n*xn= t1 ^ s1
// <=>
// a11*x1 ^ a12*x2 ^ a13*x3 ^ ... ^a1n*xn= t1 ^ s1
// 这里初始化时 a[1][n+1]就是s1,下面这行的意思就是 t1 ^ s1
a[i][n + 1] ^= t; // 在维护增广矩阵的最后一列数值
a[i][i] = 1; // 第i个开关一定会改变第i个灯,形成一个三角？
}
int x, y;
while (cin >> x >> y, x && y) a[y][x] = 1; // 操作开关x,x影响y。生成左侧方程系数。给定的是1，未说明的是0
// 这个矩阵系数，第一维的是行，第二维的是列
// 上面的输入，其实是反的，比如它说，3影响1，其实真正的含义是a_13=1
// 系数矩阵准备完毕，可以用高斯消元求解方程了
int t = gauss();
if (t == -1)
puts("Oh,it's impossible~!!");
else
printf("%d\n", t);
}
return 0;
}
