AcWing 207. 球形空间产生器

$AcWing$ $207$. 球形空间产生器

一、题目描述

有一个球形空间产生器能够在 $n$ 维空间中产生一个坚硬的球体。

现在，你被困在了这个 $n$ 维球体中，你只知道球面上 $n+1$ 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 $n$ 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

注意： 数据保证有唯一解。

输入格式
第一行是一个整数 $n$。

接下来的 $n+1$ 行，每行有 $n$ 个实数，表示球面上一点的 $n$ 维坐标。

每一个实数精确到小数点后 $6$ 位，且其绝对值都不超过 $20000$。

输出格式
有且只有一行，依次给出球心的 $n$ 维坐标（$n$ 个实数），两个实数之间用一个空格隔开。

每个实数精确到小数点后 $3$ 位。

数据范围
$1≤n≤10$

输入样例：

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

输出样例：

0.500 1.500

二、解题思路

前置知识：高斯消元法求解线性方程组

设球心坐标为$(x_1,x_2,...,x_n)$
对于给定的$n+1$个点坐标为$(b_{i1},b_{i2},...,b_{in})$

根据题意有如下$n+1$个方程构成的方程组

$$\large \left\{\begin{matrix} (b_{01}-x_1)^2 +(b_{02}-x_2)^2 +...+(b_{0n}-x_n)^2=R^2& \ ① \\ (b_{11}-x_1)^2 +(b_{12}-x_2)^2 +...+(b_{1n}-x_n)^2=R^2& \ ② \\ (b_{21}-x_1)^2 +(b_{22}-x_2)^2 +...+(b_{2n}-x_n)^2=R^2& \ ③ \\ ... \\ (b_{n1}-x_1)^2 +(b_{n2}-x_2)^2 +...+(b_{nn}-x_n)^2=R^2& \ \end{matrix}\right.$$

因为我们学过的知识，只有 高斯消元可以解这样的方程组，但本题的方程是二次方的，肯定是不行，需要想办法把二次方消掉，化简为一次的多元线性方程组，才能使用高斯消元。

进行公式变换，把二项全部消掉：
$\large \displaystyle \left\{\begin{matrix} ②-① \\ ③-① \\ ... \\ (n+1) -① & \end{matrix}\right.$
有：

$$\large \displaystyle \left\{\begin{matrix} 2(b_{11}-b_{01})x_1+2(b_{12}-b_{02})x_2+...+2(b_{1n}-b_{0n})x_n=b_{11}^2+b_{12}^2+...+b_{1n}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\ 2(b_{21}-b_{01})x_1+2(b_{22}-b_{02})x_2+...+2(b_{2n}-b_{0n})x_n=b_{11}^2+b_{12}^2+...+b_{1n}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\ ... \\ 2(b_{n1}-b_{01})x_1+2(b_{n2}-b_{02})x_2+...+2(b_{n1}-b_{0n})x_n=b_{n1}^2+b_{n2}^2+...+b_{nn}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\ \end{matrix}\right.$$

令：

$$\large \displaystyle \left\{\begin{matrix} 2(b_{ij}-b_{0j})=a_{ij} \\ b_{i1}^2+b_{i2}^2+...+b_{in}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2=a_{i,{n+1}} \end{matrix}\right. \ i,j \in [1,n]$$

则有：

$$\large \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 +a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=a_{1,{n+1}} \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=a_{2,{n+1}} \\ ... \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=a_{n,{n+1}} \end{matrix}\right.$$

如此变化后，就得到一个$n$个变量，$n$个等式的 线程方程组，可以使用 高斯消元 来处理。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 15;
const double eps = 1e-8; // 小数的精度值
int n;
double a[N][N], b[N][N];

int gauss() {                                                    // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
    int r = 1;                                                   // 先按行后按列进行计算，当前行是第1行
    for (int c = 1; c <= n; c++) {                               // 枚举每一列
        int t = r;                                               // 防破坏r,复制出t
        for (int i = r; i <= n; i++)                             // 当前行需要找它的后续行
            if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i;              // t的任务是找出c列中系数最大值是哪一行
        if (abs(a[t][c]) < eps) continue;                        // 如果c列绝对值最大的系数是0, 那么处理下一列
        for (int i = c; i <= n + 1; i++) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行与当前行交换
        for (int i = n + 1; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];     // a[r][c]:行首系数，将当前行的行首通过除法变为1,倒序
        for (int i = r + 1; i <= n; i++)                         // 用当前行r的c列，通过减法将后续行c列消成0
            for (int j = n + 1; j >= c; j--)                     // 倒序,需要保留行首，逻辑和上面是一样的，行首值是变更系数，如果正序就把系数变成1了，后面就不对了
                a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];                    // a[i][c]:需要变化的乘法系数，减法：对位相消
        r++;                                                     // 下一行
    }
    if (r <= n) { // 如果没有成功执行完所有行，意味着中间存在continue,也就是某一列的系数都是0
        for (int i = r; i <= n; i++)
            if (abs(a[i][n + 1]) > eps) return 0; // 系数是0，但结果不是0，无解
        return 2;                                 // 系数是0，结果也是0，x取啥都对，有无穷多组解
    }
    // 代回求每个变量值
    for (int i = n - 1; i; i--)                   // 行,倒序
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)          // 列,倒三角,右上角应该都是0,对角线全是1
            a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1]; // 系数消为0
    return 1;                                     // 有唯一解
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i <= n; i++)     // n+1行,下标从0开始
        for (int j = 1; j <= n; j++) // n列
            cin >> b[i][j];

    // 转换为线性方程组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            a[i][j] += 2 * (b[i][j] - b[0][j]);
            a[i][n + 1] += b[i][j] * b[i][j] - b[0][j] * b[0][j];
        }
    // Gauss消元
    gauss();
    // 输出答案
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.3lf ", a[i][n + 1]);

    return 0;
}