AcWing 1316. 有趣的数列

$AcWing$ $1316$ . 有趣的数列

一、题目描述

我们称一个长度为 $2n$ 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

它是从 $1$ 到 $2n$ 共 $2n$ 个整数的一个排列 ${a_i}$
所有的 奇数项 满足 $a_1<a_3<⋯<a_{2n−1}$ ,所有的 偶数项 满足 $a_2<a_4<⋯<a_{2n}$
任意相邻的两项 $a_{2i−1}$ 与 $a_{2i}$ $(1≤i≤n)$ 满足奇数项小于偶数项，即： $a_{2i−1}<a_{2i}$

任务是：对于给定的 $n$ ，请求出有多少个不同的长度为 $2n$ 的有趣的数列。

因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 $mod$ $P$ 的值。

输入格式

只包含用空格隔开的两个整数 $n$ 和 $P$ 。

输出格式

仅含一个整数，表示不同的长度为 $2n$ 的有趣的数列个数 $mod$ $P$ 的值。

数据范围

$1≤n≤10^6,2≤P≤10^9$

输入样例

3 10

输出样例：

样例解释

对应的 $5$ 个有趣的数列分别为 $\{1,2,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,4,6\},\{1,3,2,4,5,6\},\{1,3,2,5,4,6\},\{1,4,2,5,3,6\}$ 。

二、解题思路

嘉持老师的优秀教学视频

我们要有这种直觉：一旦发现输入是 $3$ ，输出是 $5$ ，很可能就是 卡特兰数。关于卡特兰数的讲解可以参考：网址。

如何判断某个问题是不是卡特兰数呢？一般由两种方式：

① 能得到公式： $\large f(n)=f(0) \times f(n-1) + f(1) \times f(n-2) + ... +f(n-1)\times f(0)$

解释:联想一下嘉持老师的画二叉树，就是向左子树分配 $i$ 个节点，那么向右子树就分配 $n-i-1$ 个节点,因为根点了一个节点。

② 能挖掘出如下性质：任意前缀中，某种东西的数量 ≥ 另一种东西数量。

组合数等于三个阶乘相乘除，因此我们求出各个阶乘的质因数分解，就能得到组合数的模 $p$ 后大小。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 2000010;

int n, mod;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int qmi(int a, int k) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int get(int n, int p) {
    int s = 0;
    while (n) {
        s += n / p;
        n /= p;
    }
    return s;
}

int C(int a, int b) {
    int res = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        int p = primes[i];
        int s = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
        res = res * qmi(p, s) % mod;
    }
    return res;
}

signed main() {
    cin >> n >> mod;
    get_primes(n * 2);
    cout << (C(n * 2, n) - C(n * 2, n - 1) + mod) % mod << endl;
}