AcWing 1317. 树屋阶梯

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一、题目分析

考虑以阶梯左下角那个点为第一个钢材的左下角，那么第一个钢材摆放情况便如下图（以 $n = 5$ 为例）

对每种情况分别讨论，那么问题都被分成了两个子问题，设$f[n]$表示摆放高度为$n$的台阶的方法数，那么：

$$\large f[5]=f[4]*f[0]+f[3]*f[1]+f[2]*f[2]+f[1]*f[3]+f[0]*f[4]=\sum_{k=1}^5f(5-k)*f(k-1)$$

泛化一下，就是：

$$\large f[n]=f[n-1]*f[0]+f[n-2]*f[1]+f[n-3]*f[2]+...+f[1]*f[3]+f[0]*f[n-1]=\sum_{k=1}^nf(n-k)*f(k-1)$$

显然，这就是卡特兰数了

但是这题很烦，还要用高精乘:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
int a[N], b[N];

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int get(int n, int p) { // n!中p的次数
    int s = 0;
    while (n) n /= p, s += n;
    return s;
}

void mul(int a[], int b, int &len) {
    int t = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        t += a[i] * b;
        a[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    while (t) {
        a[++len] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    //去前导0
    while (len > 1 && !a[len]) len--;
}

int C(int a, int b, int c[]) {
    int len = 1;
    c[1] = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        int p = primes[i];
        int s = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
        while (s--) mul(c, p, len);
    }
    return len;
}

void sub(int a[], int b[], int &len) {
    int t = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        t = a[i] - b[i] - t;
        a[i] = (t + 10) % 10;
        t < 0 ? t = 1 : t = 0;
    }
    while (len > 1 && !a[len]) len--;
}

int main() {
    //加快读入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    get_primes(N - 10);

    int n;
    cin >> n;
    int a1 = C(n + n, n, a);
    int b1 = C(n + n, n - 1, b); // bl下面没有用到，原因是两数相减，我们知道a>b,按着a的长度来就行了

    sub(a, b, a1);

    for (int i = a1; i >= 1; i--) printf("%d", a[i]);
    return 0;
}