AcWing 1308. 方程的解

$AcWing$ $1308$. 方程的解

一、题目描述

佳佳碰到了一个难题，请你来帮忙解决。

对于不定方程 $a_1+a_2+⋯+a_{k−1}+a_k=g(x)$，其中 $k≥1$ 且 $k∈N∗$，$x$ 是正整数，$g(x)=x^x \ mod \ 1000$（即 $x^x$ 除以 $1000$ 的余数），$x,k$ 是给定的数。

我们要求的是这个不定方程的 正整数解 组数。

举例来说，当 $k=3,x=2$ 时，方程的解分别为：

$$\large \left\{\begin{matrix} a_1=1\\ a_2=1 \\ a_3=2 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} a_1=1\\ a_2=2 \\ a_3=1 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} a_1=2\\ a_2=1 \\ a_3=1 \end{matrix}\right.$$

输入格式
有且只有一行，为用空格隔开的两个正整数，依次为 $k,x$。

输出格式
有且只有一行，为方程的正整数解组数。

数据范围
$1≤k≤100,1≤x<2^{31},k≤g(x)$

输入样例：

3 2

输出样例：

3

二、隔板法求组合数问题

考虑问题：$a_1+a_2+…+a_k=n$，要求$a_i(i\in [1,k])$ 都是正整数 , 共有多少种$\{a_1,a_2,…,a_k\}$ 的组合能够满足上述等式。

隔板法

• 构造$n$个小球* * * * * * *，则$n$个小球共有$n−1$个空隙

• 每插入一个空隙，从该空隙向左直到遇到第一个板子或左边界为止的这个区间的和，记为该数$a_i$的值

• 为实现把原区间分成 $k$ 个子区间目标，共需插入$k−1$个板子

举栗子
$n=7,k=4$时* *|* *|* *|*是一种方案，对应了 $\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_1=2 \\ a_2=2 \\ a_3=2 \\ a_4=1 \end{matrix}\right.$

方案总数=$\large \displaystyle C_{n-1}^{k-1}$

代码思路:

• 快速幂求$n=x^x$
• 隔板法求组合数$C_{n−1}^{k−1}$

本题答案没有要求取模，答案上界的极限是$C_{1000-1}^{100-1}$
根据组合数学公式 $\displaystyle C_n^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!} =\frac{1000!}{100!\cdot 900!} \approx 10^{139}$

上面这个精度的估算，可以使用电脑自带的计算器，采用科学型就能计算阶乘了，记得算完第一个除法后按一下确定，$yxc$犯了这个错误~
必爆$int$和$long$ $long$,$\_\_int128$!

需要 高精度+递推,可以视为一个 模板

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 150, mod = 1000;

int k, x;
int f[1010][110][N];
// 前两维：组合数C(n-1,k-1),其中n最大值是1000，k最大值是100，还都减了1, 所以这么开就足够大了,再+10肯定够了
// 第三维: 高精度的结果

// 快速幂
int qmi(int a, int b, int p) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 因为本题需要计算组合数，就是在(i,j)确定下的第三维数组空间保存结果
void add(int a[], int b[], int c[]) {
    for (int i = 0, t = 0; i < N; i++) {
        // 开的静态数组 N的长度足够（150是通过calc估算出的139上浮得到的极限值)
        // 不用对比两个高精度的长度，全部当做150极限来看，也没多大
        t += a[i] + b[i];
        c[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
}

int main() {
    cin >> k >> x; // k个数字， g(x)=x^x 指引我们使用快速幂

    // 技巧：在求快速幂+模时，时刻注意取模
    // 比如先把底、幂次取模后再计算快速幂
    int n = qmi(x % mod, x % mod, mod);

    //  递推求组合数,一直递推到C(n,k)
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= min(i, k); j++) // 孙猴子再厉害，也不能翻出如来佛的五指山，k<=i
            if (!j)
                f[i][j][0] = 1; // C(i,0)=1,所以C(i,0)指向的其实是一个一维数组，也就是C(i,0)的高精度结果。此结果=1.按高精度来说，就是a[0]=1
            else
                // C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)
                // 左侧：从i个小球中选择j个小球的方法数
                // 右侧：(1) 不选第1个，那么在剩余i-1个小球中选择j个小球的方法数
                // 右侧：(2) 选择第1个，那么在剩余i-1个小球中选择j-1个小球的方法数
                // 再结合加法原理，即可得到上面的公式，这个公式可以用于递推
                // 这个三维数组+高精度用的漂亮啊！
                // f[][][]是三维数组，f[i - 1][j] 是指在i-1个中选择j个有多少种办法，其实结果是存在第三维中，
                // f[i - 1][j]指向的是一维数组，也就是f[i-1][j]的方法数的高精度结果
                // 理解为add(a[],b[],c[]);也就是简单的高精度加法
                add(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1], f[i][j]);

    // 上面多求了一些数据出来，我们只需要: C(n - 1, k - 1)
    // 将前二维数组简写为g,此处g为一个指针，指向的是f[n-1][k-1]指向的高精度数组对应的一维数组
    int *g = f[n - 1][k - 1];
    int i = N - 1;                 // 最高位
    while (!g[i]) i--;             // 去除前导0
    while (i >= 0) cout << g[i--]; // 倒序输出
    return 0;
}