AcWing 1307. 牡牛和牝牛

\(AcWing\) \(1307\). 牡牛和牝牛

一、题目描述

约翰要带 \(N\) 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。

牛们要站成一排，但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定 任意两只牡牛之间至少要有 \(K\) 只牝牛。

请计算一共有多少种排队的方法，所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样，答案对 \(5000011\) 取模。

输入格式
一行，输入两个整数 \(N\) 和 \(K\)。

输出格式
一个整数，表示排队的方法数。

数据范围
\(1≤N≤10^5,0≤K<N\)

输入样例：

4 2

输出样例：

6

样例解释
\(6\) 种方法分别是：牝牝牝牝，牡牝牝牝，牝牡牝牝，牝牝牡牝，牝牝牝牡，牡牝牝牡。

二、隔板法+组合数公式+费马小定理求逆元

黄海理解：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int MOD = 5000011; // 质数，可以使用费马小定理求逆元
const int N = 1e5 + 10;
int fact[N]; // 阶乘数组
// 快速幂
int qmi(int a, int b, int p) {
    int res = 1;
    a %= p;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}
// 利用组合数定义式求C(m,n),用到快速幂求逆元
int C(int m, int n) {
    if (m < n) return 0;
    return fact[m] * qmi(fact[n], MOD - 2, MOD) % MOD * qmi(fact[m - n], MOD - 2, MOD) % MOD;
}

int n, k; // n只牛,两只牡牛之间，最少需要k只牝牛
signed main() {
    // 预处理范围内数字的阶乘
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) fact[i] = (fact[i - 1] * i) % MOD;

    cin >> n >> k;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= (n + k) / (k + 1); i++)   // 枚举牡牛的所有可能数量
        res = (res + C(n - (i - 1) * k, i)) % MOD; // 累计组合数

    // 如果0只牡牛,还应该增加一种方案，就是全都是牝牛
    cout << res + 1 << endl;
}

三、动态规划法

设牡(公牛)为\(1\),牝(母牛)为\(0\),就是：

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 1

题目大意是一共要求携带\(n\)头牛，牛分为两种：\(1\)和\(0\)两种种类。

题目要求\(1\)与\(1\)之间至少要间隔\(K\)个\(0\)

求出满足上述要求的方案数

闫氏\(DP\)分析法：
f[i]集合：考虑前\(i\)头牛，且第\(i\)头牛是\(1\)的方案
f[i]属性：方案数

状态计算：f[i] = f[i - k - 1] + f[i - k - 2] + ··· + f[0]

(↑集合划分的依据是题目的要求，即当前\(1\)与上一个\(1\)之间至少要间隔\(k\)个\(0\))

此处设置一个边界f[0]表示只有\(0\)没有\(1\)的边界情况

如何计算最终答案
根据上述集合的含义
我们最终的答案就是把所有的\(f[i]\)（包括\(f[0]\)，表示该方案全是\(0\)，没有\(1\)）累加起来即可。

\(res = f[0] + f[1] + ··· + f[n]\)

无论是状态计算，还是答案求和，都要用到求区间和的部分

因此本题还可以采用前缀和数组，优化掉上述的计算

朴素版本

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, mod = 5000011;

int n, k;
int f[N];

// PASS 8/12 其它的TLE
int main() {
    cin >> n >> k;
    f[0] = 1; // 此处设置一个边界f[0]表示只有0没有1的边界情况

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i - k - 1 < 0)
            f[i] = f[0];
        else
            for (int j = 0; j <= i - k - 1; j++)
                f[i] = (f[i] + f[j]) % mod;
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) res = (res + f[i]) % mod;

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

前缀和优化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, mod = 5000011;

int n, k;
int f[N], s[N];

int main() {
    cin >> n >> k;

    f[0] = s[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i - k - 1 > 0)
            f[i] = s[i - k - 1]; // 利用前缀和优化
        else
            f[i] = f[0];

        s[i] = (s[i - 1] + f[i]) % mod; // 维护前缀和
    }
    printf("%d\n", s[n]);
    return 0;
}