AcWing 1304. 佳佳的斐波那契

$AcWing$ $1304$. 佳佳的斐波那契

一、题目描述

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。

在研究完 $Fibonacci$ 数列后，她创造出许多稀奇古怪的数列。

例如用 $S(n)$ 表示 $Fibonacci$ 前 $n$ 项和 $mod\ m$ 的值，即 $S(n)=(F_1+F_2+…+F_n)\ mod\ m$，其中 $F_1=F_2=1,F_i=F_{i−1}+F_{i−2}$。

可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。

用 $T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+…+nF_n)\ mod\ m$ 表示 $Fibonacci$ 数列前 $n$ 项变形后的和 $mod\ m$ 的值。

现在佳佳告诉你了一个 $n$ 和 $m$，请求出 $T(n)$ 的值。

输入格式
共一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。

输出格式
共一行，输出 $T(n)$ 的值。

数据范围
$1≤n,m≤2^{31}−1$

输入样例：
$5$ $5$

输出样例：
$1$

样例解释
$T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)\ mod\ 5=1$

二、推导过程

$$\because S_n=F_1+F_2+⋯+F_n=\sum_{i=1}^{n}F_i \\ T_n=F_1+2*F_2+...+nF_n=\sum_{i=1}^{n}iF_i$$

我们需要利用$T_n$构造新的数列，从而消去变量$i$，最后再反解出$T_n$：

$$\therefore nS_n-T_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1}$$

令$C_n=nS_n-T_n$

$$\therefore C_n=(n-1)F_1+(n-2)F_2+...+F_{n-1} \ ①$$

$$C_{n+1}=nF_1+(n-1)F_2+...+F_{n} \ ②$$

② 式 - ① 式

$$C_{n+1}-C_n=F_1+F_2+F_3+...+F_n=S_n$$

于是我们只需维护如下矩阵即可

$$\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_n & s_n & c_n \end{pmatrix}$$

有如下等式:

$$\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_n & s_n & c_n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f_{n+2} & f_{n+1} & s_{n+1} & c_{n+1} \end{pmatrix}$$

然后直接使用矩阵快速幂便可以求解

初始矩阵

$$\begin{pmatrix} f_{2} & f_{1} & s_{1} & c_{1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

递推式

$$\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_{n} & s_{n} & c_{n} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} f_{2} & f_{1} & s_{1} & c_{1} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{n-1}$$

答案
$T_n=nS_n-C_n =n\times b[0][2]-b[0][3]$

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

const int N = 4;
int n, mod;

// 矩阵乘法
void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N]) {
    int t[N][N] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++)
            for (int k = 0; k < N; k++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
    }
    memcpy(c, t, sizeof t);
}
int main() {
    int b[N][N] = {1, 1, 1, 0};
    int m[N][N] = {
        {1, 1, 1, 0},
        {1, 0, 0, 0},
        {0, 0, 1, 1},
        {0, 0, 0, 1}};

    cin >> n >> mod;
    for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
        if (i & 1) mul(b, m, b);
        mul(m, m, m);
    }

    int t = (n * b[0][2]) - b[0][3];
    t = (t % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", t);
    return 0;
}