AcWing 90. 64位整数乘法

\(AcWing\) \(90\). \(64\)位整数乘法

一、题目描述

求 \(a\) 乘 \(b\) 对 \(p\) 取模的值。

输入格式
第一行输入整数\(a\)，第二行输入整数\(b\)，第三行输入整数\(p\)。

输出格式
输出一个整数，表示a*b mod p的值。

数据范围
\(1≤a,b,p≤10^{18}\)

输入样例：

3
4
5

输出样例：

2

二、解题思路

\(long\) \(long\)的最大值：9223372036854775807,最多是\(19\)位。

啊？最多才\(19\)位,那坏了！因为\(a\)是最大\(10^{18}\),也就是\(19\)位,如果直接\(a*a\),直接就爆炸了！没机会再取模了！

那咋办？

不能用\(a*a\)呗！我们可以想办法\((a+a)\%p\),因为\(a+a\)不会冒出\(long\) \(long\)上限，然后再通过\((a+a)\%p\)的值拼装出\(a^b\)。

\(res=a+a\)就是两两的算，然后是不是可以用\(res\)再翻一下翻最终计算出来呢？

这是可以的，因为这就是 二进制 的思想嘛。

先看例子：计算 \(3^5\)

\[\large 3^5=3^4*1+3^2*0+3^1*1 \]

噢，就是把\(5\)按二进制的思路进行拆分成\(5=4+1\),也就是\((101)_2\)
然后从后往前，看到每一位是数字\(1\)还是数字\(0\),不管是\(1\)还是\(0\)，翻番的\(base\)要一路跟上，因为本位为\(0\)就需要\(base\),否则不加\(base\)。

加完了之后别忘了取模，防止冒了！

有同学可能在思考，那要是\(base\)在加的过程中冒了怎么办呢？
因为\(base\)是为了最终的结果\(res\)而努力累加的，最终算完 \(res\)再取模，与在计算过程中取模，是符合加法取模规则的，即\((a+b)\%p=(a\%p + b\%p)\%p\)

所以，谁有可能在计算过程中冒了，就把谁取模掉就对了！

三、龟速乘

龟速乘：把能很快完成的乘法，变成二进制分解后的加法，在加的过程中进行取模，可以防止计算过程中的溢出。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL a, b, p, res;

int main() {
    cin >> a >> b >> p;

    // 龟速乘
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }

    cout << res << endl;
    return 0;
}

四、__\(int128\)解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

/*
NOIP
CCF 组织的赛事都可以了
__int128取值范围−2^127~2^127−1
__int128只能通过字符形式输入输出
*/
typedef long long LL;

LL a, b, p, res;

int main() {
    cin >> a >> b >> p;
    cout << (LL)(__int128(a) * (__int128)b % p) << endl;
    return 0;
}