AcWing 222 青蛙的约会
\(AcWing\) \(222\) 青蛙的约会
一、题目描述
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。
它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定 各自朝西跳，直到碰面为止。
可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。
不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。
但是 除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。
为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 \(A\) 和青蛙 \(B\)，并且规定纬度线上东经 \(0\) 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 \(1\) 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。
设青蛙 \(A\) 的出发点坐标是 \(x\)，青蛙 \(B\) 的出发点坐标是 \(y\)。
青蛙 \(A\) 一次能跳 \(m\) 米，青蛙 \(B\) 一次能跳 \(n\) 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。
纬度线总长 \(L\) 米。
现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入格式
输入只包括一行 \(5\) 个整数 \(x，y，m，n，L\)。
输出格式
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行 Impossible。
数据范围
\(x≠y<2000000000\),
\(0<m,n<2000000000\),
\(0<L<2100000000\)
输入样例：
1 2 3 4 5
输出样例：
4
二、解题思路
\(a\):青蛙\(A\)的起点
\(b\):青蛙\(B\)的起点
\(m\):青蛙\(A\)一次能跳多远
\(n\):青蛙\(B\)一次能跳多远
\(L\):一圈的距离
\((b-a)\):\(A\)要追\(B\)多少米
\((m-n)\):每跳一次，\(A\)能追\(B\)多少米
\(x\)是总共跳了多少次
\(y\)是\(A\)追\(B\)不一定会在一圈内追完，而是追了\(y\)圈
\((m - n)*x = b - a + y*L\)
$ \underbrace{(m - n)}{已知}x - y \underbrace{ L} = \underbrace{ b - a}_{已知}$
扩展欧几里得
\(a*x+b*y=d\)
\(a\)已知，\(b\)已知，\(d\)是\(a\)和\(b\)的最大公约数，求\(x，y\)
因此把上式的\(a\)替换乘\(m-n\),\(b\)替换成\(-L\)。
式子变成
\((m-n)*x+y*(-L)=d=gcd(m-n,-L)\)
如果\((b-a)\%d\)不等于\(0\)，两只青蛙永远不会碰面
如果\((b-a)\%d\)等于零，把\((m-n)*x+y*(-L)=d\)扩大\((b-a)/d\)倍后，\(x\)就是结果。
五、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
// 扩展欧几里得算法
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
signed main() {
int a, b, m, n, l;
// 青蛙 A 的出发点坐标是 a，青蛙 B 的出发点坐标是 b
// 青蛙 A 一次能跳 m 米，青蛙 B 一次能跳 n 米
// 纬度线总长 L 米
cin >> a >> b >> m >> n >> l;
int x, y;
int d = exgcd(m - n, -l, x, y);
if ((b - a) % d)
puts("Impossible"); // 永远也碰不到
else {
x = (b - a) / d * x; // 按照比例扩大
/*
通解的单位变元？不知道怎么叫比较合适。
您先搞清楚一点，exgcd解出来的那么一组x,y并不是我们所求的最小正整数解，它甚至可能是一个负的不知道哪里去的一个数。
它们仅仅是一组解。而关于通解，假设我们解出一组解x0,y0，方程是ax+by=c，通解就是
x=x0+k * b/gcd(a,b)，k是任意的一个整数，t就是后面那一坨，就是b/gcd(a,b)。
所以我们要求出这个单位变量，从而得到我们所需要的最小正整数解。
*/
int t = abs(l / d);
cout << (x % t + t) % t << endl; // 返回正的余数
}
}
