AcWing 198. 反素数
\(AcWing\) \(198\). 反素数
一、题目描述
对于任何正整数 \(x\)，其约数的个数记作 \(g(x)\)，例如 \(g(1)=1、g(6)=4\)。
如果某个正整数 \(x\) 满足：对于任意的小于 \(x\) 的正整数 \(i\)，都有 \(g(x)>g(i)\)，则称 \(x\) 为反素数。
例如，整数 \(1，2，4，6\) 等都是反素数。
现在给定一个数 \(N\)，请求出不超过 \(N\) 的最大的反素数。
输入格式
一个正整数 \(N\)。
输出格式
一个整数，表示不超过 \(N\) 的最大反素数。
数据范围
\(1≤N≤2∗10^9\)
输入样例：
1000
输出样例：
840
二、解题思路
1、前置知识
设\(N\)的唯一分解式：
- 约数个数公式
\(d(N)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times ... \times (c_k+1)\)
举栗子
\(180=2^2∗3^2∗5\)
约数个数=\((1+2)∗(1+2)∗(1+1)=18\)
- 约数和公式
\(\sigma(n)=({p_1}^{0}+{p_1}^{1}+{p_1}^{2}+...+{p_1}^{c_1})({p_2}^{0}+{p_2}^{1}+{p_2}^{2}+...+{p_2}^{c_2})...({p_k}^{0}+{p_k}^{1}+{p_k}^{2}+...+{p_k}^{c_k})\)
Sigma（大写Σ，小写σ），是第十八个希腊字母。
举栗子
\(180= 2^2 * 3^2 * 5\)
约数和\(=(1+2+4) * (1+3+9 ) * (1+5)=546\)
2、理解反素数
说白了，素数之所以称为素数，就是因为约数少，只有\(1\)和自己。
反素数，也就可以理解为 ：约数多，而且每个数的约数个数，都比小于自己的数字约数个数多。
3、反素数性质1
\(1\sim N\)中最大的 反素数,就是 \(1\sim N\)中约数个数最多的数中最小的一个。
- \(g(x)\)=约数个数，求最大的反素数，不就是在求哪个数的约数个数最多嘛~
- 如果不是最小的那一个,必然会出现
g(x)=g(i),与反素数的定义就矛盾了~
4、反素数性质2
联想约数个数公式：
\(d(N)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times ... \times (c_k+1)\)
一个数的约数个数，不与具体的质数因子相关，只与质数因子的幂次相关！
换言之，由于我们追求最小的数字，那么根据 贪心思想 ，我们知道:质因子越小，幂次越大，才可以保障最终的数字最小！！！
即\(c_1>=c_2>=c_3>=...>=c_k\)
举个栗子
假设\(t=2^{c_1}×3^5×5^4×7^{c_4}…\)
则\(c_1>=5>=4>=c_4\)，交换\(3\)和\(5\)的次数即变成\(t=2^{c_1}×3^4×5^5×7^{c_4}…\)，这样交换约数个数相同，可\(3^4∗5^5 > 3^5∗5^4\)，交换后该数变大了
5、反素数性质3
- \(1\sim N\)中任何数的不同质因子都不会超过\(9\)个
因为\(2 \times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29 >2\times 10^9\):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
int main() {
cout << INT_MAX << endl;
LL s = 1;
for (int i = 0; i <= 8; i++) s *= primes[i];
cout << s << endl;
s = 1;
for (int i = 0; i <= 9; i++) s *= primes[i];
cout << s << endl;
return 0;
}
输出结果:
2147483647
223092870
6469693230
- 所有质因数的指数总和最大不超过\(30\)
因为\(2^{31}>2\times 10^9\).
根据上面一系列性质,我们得出了最简洁的思路,使用\(dfs\),尝试确定前九个质数的指数,然后满足指数单调递减,总乘积不超过\(N\),且同时记录约数的个数。
三、由小到大枚举
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl "\n"
#define int long long
const int N = 2e9;
int n;
int primes[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}; // 枚举的质数前9位，足够了
int mc, mx; // 最大反素数的约数个数，最大反素数值
/*
u:走到数组primes的第几位
last:前一个质数，我们取的指数是多少，当前位置取的质数的指数需要小于等于last
tmx: 当前路线上取得的最大反素数
tmc: 当前路线上取得的约数个数
*/
void dfs(int u, int last, int tmx, int tmc) {
if (u == 9) { // 走完全程
// ① 当前路径中约数个数大于最大约数个数，需要替换
// ② 当前路径中的约数个数等于最大约数个数，但是，当前路径的数值更小，也需要替换
if (tmc > mc || (tmc == mc && tmx < mx))
mc = tmc, mx = tmx;
return;
}
for (int i = 0; i <= last; i++) { // 幂次只能是小于等于前一个数的幂次
int k = pow(primes[u], i);
if (k * tmx > n) break; // 如果取当前这个素数的i次方，乘到原来的最大值后，大于n，那么此路径不通
/*
u+1:下一个素数位置
i: 当前u这个素数取了i次幂
tmx*k : 因为取了i次幂，所以，最大值变大了k倍
tmc*(i+1) : 根据约数个数公式，因为有了质数 primes[u]后，取了i次幂，那么约数和增加(i+1)倍
*/
dfs(u + 1, i, tmx * k, tmc * (i + 1));
}
}
signed main() {
cin >> n;
dfs(0, 30, 1, 1); // 从最小的质数2出发，最大的幂次不超过30
// n的最小取值是1，也就是小于等于1的范围内，最小的反素数是1，而且，约数的个数也是1
cout << mx << endl;
}
四、经验总结
在INT_MAX范围内，最大的反素数拥有的约数个数是\(1600\)个 ，这个是整数范围内约数个数的极限值， 需要记住这个值，后面的做题当中可以当做常数使用！
输入\(2e9\),输出\(1536\)。
输入INT_MAX,即\(2147483647\),输出\(1600\)。
