AcWing 1290. 越狱

$AcWing$ $1290$. 越狱

一、题目描述

监狱有连续编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。

有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。

如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。

求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式
共一行，包含两个整数 $m$ 和 $n$。

输出格式
可能越狱的状态数，对 $100003$ 取余。

数据范围
$1≤m≤10^8$
$1≤n≤10^{12}$

输入样例

2 3

输出样例

6

样例解释
所有可能的 $6$ 种状态为：$(000)(001)(011)(100)(110)(111)$。

二、解题思路

本题可以采用容斥原理补集的思想。

考虑 $n$ 个犯人，$m$种宗教，如何安排不会导致犯罪。

第一个位置可以有 $m$ 个选择，则与第一个相邻的第二个位置就只有 $m−1$ 中选择。

考虑第 $i$ 个位置，则为了不和他左侧的 $i−1$ 位置发生冲突，一共有 $m-1$ 种选择。

因此不会导致犯罪的方案是: $m⋅(m−1)^{n−1}$

则会导致犯罪的方案是：$m^n−m⋅(m−1)^{n−1}$

计算一个数字的$n$次方，还要求取模，自然就需要使用快速幂~

注意
注意减法取模可能会变成负数，那么我们要把他转化正数 $(a - b + mod) \% mod$ 即可

这里解释下：为什么取模+减法会出现负数呢？比如$MOD=10$
$a=13,b=5$
$ (a%MOD -b % MOD) % MOD=13%10 - 5 %10=3-5=-2$出现负数不是我们想的结果，那就在取模时加上$MOD$就行了

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MOD = 100003;

int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

signed main() {
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
    return 0;
}