AcWing 1290. 越狱
\(AcWing\) \(1290\). 越狱
一、题目描述
监狱有连续编号为 \(1\) 到 \(n\) 的 \(n\) 个房间,每个房间关押一个犯人。
有 \(m\) 种宗教,每个犯人可能信仰其中一种。
如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同,就可能发生越狱。
求有多少种状态可能发生越狱。
输入格式
共一行,包含两个整数 \(m\) 和 \(n\)。
输出格式
可能越狱的状态数,对 \(100003\) 取余。
数据范围
\(1≤m≤10^8\)
\(1≤n≤10^{12}\)
输入样例
2 3
输出样例
6
样例解释
所有可能的 \(6\) 种状态为:\((000)(001)(011)(100)(110)(111)\)。
二、解题思路
本题可以采用容斥原理补集的思想。
考虑 \(n\) 个犯人,\(m\)种宗教,如何安排不会导致犯罪。
第一个位置可以有 \(m\) 个选择,则与第一个相邻的第二个位置就只有 \(m−1\) 中选择。
考虑第 \(i\) 个位置,则为了不和他左侧的 \(i−1\) 位置发生冲突,一共有 \(m-1\) 种选择。
因此不会导致犯罪的方案是: \(m⋅(m−1)^{n−1}\)
则会导致犯罪的方案是:\(m^n−m⋅(m−1)^{n−1}\)
计算一个数字的\(n\)次方,还要求取模,自然就需要使用快速幂~
注意
注意减法取模可能会变成负数,那么我们要把他转化正数 \((a - b + mod) \% mod\) 即可
这里解释下:为什么取模+减法会出现负数呢?比如\(MOD=10\)
\(a=13,b=5\)
$ (a%MOD -b % MOD) % MOD=13%10 - 5 %10=3-5=-2\( 出现负数不是我们想的结果,那就在取模时加上\)MOD$就行了
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MOD = 100003;
int qmi(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = res * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
}
signed main() {
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
return 0;
}