AcWing 1290. 越狱
AcWingAcWing 12901290. 越狱
一、题目描述
监狱有连续编号为 11 到 nn 的 nn 个房间,每个房间关押一个犯人。
有 mm 种宗教,每个犯人可能信仰其中一种。
如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同,就可能发生越狱。
求有多少种状态可能发生越狱。
输入格式
共一行,包含两个整数 mm 和 nn。
输出格式
可能越狱的状态数,对 100003100003 取余。
数据范围
1≤m≤1081≤m≤108
1≤n≤10121≤n≤1012
输入样例
2 3
输出样例
6
样例解释
所有可能的 66 种状态为:(000)(001)(011)(100)(110)(111)(000)(001)(011)(100)(110)(111)。
二、解题思路
本题可以采用容斥原理补集的思想。
考虑 nn 个犯人,mm种宗教,如何安排不会导致犯罪。
第一个位置可以有 mm 个选择,则与第一个相邻的第二个位置就只有 m−1m−1 中选择。
考虑第 ii 个位置,则为了不和他左侧的 i−1i−1 位置发生冲突,一共有 m−1m−1 种选择。
因此不会导致犯罪的方案是: m⋅(m−1)n−1m⋅(m−1)n−1
则会导致犯罪的方案是:mn−m⋅(m−1)n−1mn−m⋅(m−1)n−1
计算一个数字的nn次方,还要求取模,自然就需要使用快速幂~
注意
注意减法取模可能会变成负数,那么我们要把他转化正数 (a−b+mod)%mod(a−b+mod)%mod 即可
这里解释下:为什么取模+减法会出现负数呢?比如MOD=10MOD=10
a=13,b=5a=13,b=5
$ (a%MOD -b % MOD) % MOD=13%10 - 5 %10=3-5=-2出现负数不是我们想的结果,那就在取模时加上MOD$就行了
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MOD = 100003;
int qmi(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = res * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
}
signed main() {
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << (qmi(m, n) - m * qmi(m - 1, n - 1) % MOD + MOD) % MOD << endl;
return 0;
}
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