AcWing 1289. 序列的第k个数

$AcWing$ $1289$. 序列的第$K$个数

一、题目描述

$BSNY$ 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。

现在给你 整数 序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第 $k$ 项的值吗?

如果第 $k$ 项的值太大，对其取模 $200907$。

输入格式
第一行一个整数 $T$，表示有 $T$ 组测试数据；

对于每组测试数据，输入前三项 $a,b,c$，然后输入 $k$。

输出格式
对于每组数据，输出第 $k$ 项取模 $200907$ 的值。

数据范围
$1≤T≤100$
$1≤a≤b≤c≤10^9$
$1≤k≤10^9$

输入样例

2
1 2 3 5
1 2 4 5

输出样例

5
16

二、$Q$：一个数列能不能即是等差数列又是等比数列?

结论：一个数列如果是即是等差又是等比，那么它必然是一个全等数列

证明：
设三个连续数字$a\ b \ c$,
等差数列，所以$a+c=2b$ ①
等比数列，所以$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$,所以$b^2=ac$ ②

将$a=2b-c$代入②
$b^2=(2b-c)*c$
$b^2=2bc-c^2$
$b^2-2bc+c^2=0$
$(b-c)^2=0$
∴$b=c$

由此可知，题目中给了数列的前三项，存在可能即是等差又是等比的情况，但此时就是一个全等数列，按哪个规则进行计算都是一样的结果，题目不缺少条件。

三、题意分析

• 等差数列
  公差 $d=b-a$
  第$1$项,$a+0*d$
  第$2$项,$a+1*d$
  第$3$项,$a+2*d$
  ...
  第$k$项，应该是$a+(k-1)d$，这个很好求，直接求然后注意取模就行了。

• 等比数列
  公比$p=\frac{b}{a}$
  第$1$项,$a*p^0$
  第$2$项,$a*p^1$
  第$3$项,$a*p^2$
  ...
  第$k$项,$a*p^{k-1}=a*(\frac{b}{a})^{k-1}$

  这东西用 快速幂 就行了

四、理解与思考

数学的题，一般不会真的用代码去暴力计算，通常是推公式，证明。在完成公式的推导后，再用代码进行简单计算，比如$2022$ $CSP-J$的第二题就是一道公式的推导题，小心下细节就行了。

• 快速幂:把次数依次化为$2$进制，即可迭代
• 龟速乘:把当前数变为$2$进制加起来，用于数据很大的情况

五、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MOD = 200907;

// 快速幂
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

signed main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, b, c, k;
        cin >> a >> b >> c >> k;
        if (a + c == b * 2)                                // 等差
            cout << (a + (b - a) * (k - 1)) % MOD << endl; // 这个比较简单
        else                                               // 等比
            cout << a * qmi(b / a, k - 1) % MOD << endl;   // 这个需要快速幂
    }
}

六、龟速乘版本

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

const int MOD = 200907;

// 龟速乘，快速加
int qadd(int a, int b) {
    int res = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a + a) % MOD;
    }
    return res;
}

// 快速幂
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return res;
}

signed main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int a, b, c, k;
        cin >> a >> b >> c >> k;
        if (a + c == b + b)
            cout << (qadd(b - a, k - 1) + a) % MOD << endl; // 为等差即套公式，首项+公差*（项数-1）
        else
            cout << qmi(b / a, k - 1) * a % MOD << endl; // 等比数列用快速幂算末项
    }
}