AcWing 197. 阶乘分解

\(AcWing\) \(197\). 阶乘分解

一、题目描述

给定整数 \(N\)，试把阶乘 \(N!\) 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 \(p_i\) 和 \(c_i\) 即可。

输入格式
一个整数 \(N\)。

输出格式
\(N!\) 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 \(p_i,c_i\)，表示含有 \(p_i^{c_i}\) 项。按照 \(p_i\) 从小到大的顺序输出。

数据范围
\(3≤N≤10^6\)

输入样例：
5

输出样例：

2 3
3 1
5 1

样例解释

5!=120=2^3∗3∗5

二、方法\(1\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
bool prime(int x) {
    if (x == 2) return 1;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0) return 0;
    return 1;
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!prime(i)) continue;
        LL x = i;
        int ans = 0;
        while (x <= n) ans += n / x, x *= i;
        printf("%d %d\n", i, ans);
    }
    return 0;
}

三、方法\(2\)

1. 筛出\(1 \sim n\)的所有质数
2. 枚举每个质因子\(x\)，\(n!\)表示\(1 * 2 * 3... * n\),从\(1\)到\(n\)中，求\(x\)的次数：

\[cnt(x)= \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{x^3} \right \rfloor + ... \]

(直到\(x\)的次方大于\(n\)停止)
举栗子：
比如\(10!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\)里有多少个\(2\)的倍数,

\[\large \left \lfloor \frac{n}{x^1} \right \rfloor = \frac{10}{2}=5 \]

有多少个\(4\)的倍数

\[\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{4}=2 \]

有多少个\(8\)的倍数

\[\large \left \lfloor \frac{n}{x^2} \right \rfloor = \frac{10}{8}=1 \]

共\(5+2+1=8\)个，与例子对的上。

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

// 欧拉筛
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n) {
    memset(st, 0, sizeof st);
    cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        // 思路：由大到小+除法降维
        // 优点：不用考虑乘法而导致的爆int上限
        for (int j = n; j; j /= p) s += j / p;
        printf("%d %d\n", p, s);
    }
    return 0;
}