AcWing 196. 质数距离
\(AcWing\) \(196\). 质数距离
一、题目描述
给定两个整数 \(L\) 和 \(U\)，你需要在闭区间 \([L,U]\) 内找到距离最接近的两个相邻质数 \(C_1\) 和 \(C_2\)（即 \(C_2−C_1\) 是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。
同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数 \(D_1\) 和 \(D_2\)（即 \(D_1−D_2\) 是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。
输入格式
每行输入两个整数 \(L\) 和 \(U\)，其中 \(L\) 和 \(U\) 的差值不会超过 \(10^6\)。
输出格式
对于每个 \(L\) 和 \(U\)，输出一个结果，结果占一行。
结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）
如果 \(L\) 和 \(U\) 之间不存在质数对，则输出 There are no adjacent primes.。
数据范围
\(1≤L<U≤2^{31}−1\)
输入样例
2 17
14 17
输出样例
2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.
二、二次筛法
这里的区间范围给定的最大值是\(2^{31} - 1\),而用线性筛法求的是\([1,n]\)中的所有质数，因此直接用线性筛法求肯定会直接挂掉，因此需要通过挖掘某些性质，才能完成。
1.挖掘性质
-
性质\(1\)
若一个数\(n\)是一个合数，必然存在\(2\)个因子\(d\),\(\large \frac{n}{d}\)，假设\(d <=\frac{n}{d}\)，则\(d <= \sqrt{n}\)，因此必然存在一个小于等于 \(\sqrt{n}\)的因子 -
性质\(2\)
若\(x∈[L,R]\),且\(x\)是合数，则一定存在\(P <= \sqrt{2^{31}-1} (< 50000)\)，使得\(P\)能整除\(x\)，其中\(P < x\)。
\(\sqrt{2147483647}=46340\),这个值是小于\(50000\)的，所以，\(yxc\)老师一般喜欢使用直接写上上限值\(50000\),就是因为这个数字够用，而且够大，好记。
2.实现步骤
- 找出\(1 \sim \sqrt{2^{31}-1}\) \((< 50000)\)中的所有质因子
- 对于\(1 \sim 50000\) 中每个质数\(P\)，将\([L,R]\)中所有\(P\)的倍数筛掉(至少\(2\)倍,\(1\)倍的就是自己，是质数不是合数)
找到大于等于\(L\)的最小的\(P\)的倍数\(P_0\)，找下一个倍数时只需要\(+= P\)即可
3.引理
在寻找大于\(L\)的第一个\(P\)的倍数时，采用了下面的引理：
引理(分数的上取整转换下取整)
4.细节
\(Q\): 每个质数是\(2\sim 50000\)中的数，为啥 LL p = primes[i]; 这里的p的LL啊， int 不就够了吗？
\(A\): LL p = primes[i]，这里p用LL是因为如果p也是用int类型，本身l也是用int类型，如果l取得足够大，下面的l + p - 1会有可能直接爆int 变成负数
\(Q\): for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于\(2 ^ {31}\)，也是在int 范围内啊， 这里为啥用LL啊？
\(A\): 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于\(2 ^ {31}\),这里确实是这样，可是这个循环跳出的条件是j <= r，也就是说如果r是最大的int，那么当j += p，要超过最大的int的时候需要比它还大才能跳出循环，因此直接爆int变成负数，然后j <= r依然成立，会一直死循环下去。其实本质上这个问题与问题\(1\)是一回事，在做数论时一次要小心\(LL\)和\(int\)的加法、乘法，小心爆\(int\)是一条死规则，尽量多想想是不是应该用\(LL\)来设置变量~
\(Q\): 为什么要写上常数\(50000\)呢？
\(A\):
- 写法\(1\):
get_primes(50000) - 写法\(2\):
get_primes(sqrt(r)) - 写法\(3\):
get_primes(sqrt(INT32_MAX))
其实都行，但有了经验后，发现，直接写\(50000\)最简单粗暴效果好~
\(Q\): 为什么要使用偏移量st[j - l] = true?
\(A\): 因为数据范围太大，直接用数组进行桶计数，会超空间，需要离散化一下，就是把\(1e6\)范围内的数据映射到\(0\sim 1e6\)
\(Q\):为什么for (int i = 1; i < cl; i++) 这里要用cl-1呢？为什么不是cl呢？
\(A\):\(cl\)个质数，下标是\([1,cl]\),因为现在枚举的是前一个质数，要保证还有后一个，所以取不到\(cl\)
5.时间复杂度
\(O(n)\)
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
// 线性筛
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) {
memset(primes, 0, sizeof primes);
memset(st, 0, sizeof st);
cnt = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
bool b[N]; // 记录区间内有哪些数是合数
int c[N], cl; // 区间内有哪些质数
int l, r; // 区间范围
int main() {
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
// 一次性筛质数
get_primes(50000);
while (cin >> l >> r) {
memset(b, 0, sizeof b); // 清除合数数组
memset(c, 0, sizeof c); // 清除质数数组
cl = 0;
// 标识质数的倍数，也就是合数有哪些
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
LL p = primes[i];
for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) // 枚举p的2倍以上倍数，最小要比l大，最大不能超过r
b[j - l] = true; // 采用偏移量记录剔除标识
}
// Hack data: 1 100
// 输出： 1,2 are closest, 89,97 are most distant.
// 答案： 2,3 are closest, 89,97 are most distant.
// 原因： 下面的逻辑判断b[i]是否等于0，表示i+l不是某个质数的倍数（合数），也就是是合数，但这样判断是有问题的，因为考虑边界问题
// 1通过上面的代码是无法剔除掉的，也就是说，上面的剔除的是合数，但数字除了合数，可不是只有质数，还有一个特殊的数字1，1即不是质
// 数也不是合数,这句话可不是说说而已。
for (int i = 0; i <= r - l; i++)
if (!b[i] && i + l > 1) // 如果不是合数，并且，不是1，才是质数
c[++cl] = i + l; // 区间内的质数多了一个i+l质数
if (cl < 2)
puts("There are no adjacent primes.");
else {
int mi = 1, mx = 1; // 第一只猴子就是大王
for (int i = 1; i < cl; i++) { // 范围是1~cl,而此处因为要枚举的是每个当前i与后一个的关系，所以需要枚举到cl-1
int d = c[i + 1] - c[i];
if (d < c[mi + 1] - c[mi]) mi = i;
if (d > c[mx + 1] - c[mx]) mx = i;
}
printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", c[mi], c[mi + 1], c[mx], c[mx + 1]);
}
}
return 0;
}
