AcWing 196. 质数距离

$AcWing$ $196$. 质数距离

一、题目描述

给定两个整数 $L$ 和 $U$，你需要在闭区间 $[L,U]$ 内找到距离最接近的两个相邻质数 $C_1$ 和 $C_2$（即 $C_2−C_1$ 是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数 $D_1$ 和 $D_2$（即 $D_1−D_2$ 是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

输入格式

每行输入两个整数 $L$ 和 $U$，其中 $L$ 和 $U$ 的差值不会超过 $10^6$。

输出格式

对于每个 $L$ 和 $U$，输出一个结果，结果占一行。

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果 $L$ 和 $U$ 之间不存在质数对，则输出 There are no adjacent primes.。

数据范围

$1≤L<U≤2^{31}−1$

输入样例

2 17
14 17

输出样例

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

二、二次筛法

这里的区间范围给定的最大值是$2^{31} - 1$,而用线性筛法求的是$[1,n]$中的所有质数，因此直接用线性筛法求肯定会直接挂掉，因此需要通过挖掘某些性质，才能完成。

1.挖掘性质

• 性质$1$
  若一个数$n$是一个合数，必然存在$2$个因子$d$,$\large \frac{n}{d}$，假设$d <=\frac{n}{d}$，则$d <= \sqrt{n}$，因此必然存在一个小于等于 $\sqrt{n}$的因子

• 性质$2$
  若$x∈[L,R]$,且$x$是合数，则一定存在$P <= \sqrt{2^{31}-1} (< 50000)$，使得$P$能整除$x$，其中$P < x$。
  $\sqrt{2147483647}=46340$,这个值是小于$50000$的，所以，$yxc$老师一般喜欢使用直接写上上限值$50000$,就是因为这个数字够用，而且够大，好记。

2.实现步骤

• 找出$1 \sim \sqrt{2^{31}-1}$ $(< 50000)$中的所有质因子
• 对于$1 \sim 50000$ 中每个质数$P$，将$[L,R]$中所有$P$的倍数筛掉(至少$2$倍,$1$倍的就是自己，是质数不是合数)
  找到大于等于$L$的最小的$P$的倍数$P_0$，找下一个倍数时只需要$+= P$即可

3.引理

在寻找大于$L$的第一个$P$的倍数时，采用了下面的引理：
引理(分数的上取整转换下取整)

4.细节

$Q$: 每个质数是$2\sim 50000$中的数，为啥 LL p = primes[i]; 这里的p的LL啊， int 不就够了吗？
$A$: LL p = primes[i]，这里p用LL是因为如果p也是用int类型，本身l也是用int类型，如果l取得足够大，下面的l + p - 1会有可能直接爆int 变成负数

$Q$: for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于$2 ^ {31}$，也是在int 范围内啊， 这里为啥用LL啊？
$A$: 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于$2 ^ {31}$,这里确实是这样，可是这个循环跳出的条件是j <= r，也就是说如果r是最大的int，那么当j += p，要超过最大的int的时候需要比它还大才能跳出循环，因此直接爆int变成负数，然后j <= r依然成立，会一直死循环下去。其实本质上这个问题与问题$1$是一回事，在做数论时一次要小心$LL$和$int$的加法、乘法，小心爆$int$是一条死规则，尽量多想想是不是应该用$LL$来设置变量~

$Q$: 为什么要写上常数$50000$呢？
$A$:

• 写法$1$: get_primes(50000)
• 写法$2$: get_primes(sqrt(r))
• 写法$3$: get_primes(sqrt(INT32_MAX))
  其实都行，但有了经验后，发现，直接写$50000$最简单粗暴效果好~

$Q$: 为什么要使用偏移量st[j - l] = true?
$A$: 因为数据范围太大，直接用数组进行桶计数，会超空间，需要离散化一下，就是把$1e6$范围内的数据映射到$0\sim 1e6$

$Q$:为什么for (int i = 1; i < cl; i++) 这里要用cl-1呢？为什么不是cl呢？
$A$:$cl$个质数，下标是$[1,cl]$,因为现在枚举的是前一个质数，要保证还有后一个，所以取不到$cl$

5.时间复杂度

$O(n)$

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

// 线性筛
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) {
    memset(primes, 0, sizeof primes);
    memset(st, 0, sizeof st);
    cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

bool b[N];    // 记录区间内有哪些数是合数
int c[N], cl; // 区间内有哪些质数
int l, r;     // 区间范围

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

    // 一次性筛质数
    get_primes(50000);

    while (cin >> l >> r) {
        memset(b, 0, sizeof b); // 清除合数数组
        memset(c, 0, sizeof c); // 清除质数数组
        cl = 0;

        // 标识质数的倍数，也就是合数有哪些
        for (int i = 0; i < cnt; i++) {
            LL p = primes[i];
            for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) // 枚举p的2倍以上倍数，最小要比l大，最大不能超过r
                b[j - l] = true;                                         // 采用偏移量记录剔除标识
        }

        // Hack data: 1 100
        // 输出： 1,2 are closest, 89,97 are most distant.
        // 答案： 2,3 are closest, 89,97 are most distant.
        // 原因： 下面的逻辑判断b[i]是否等于0，表示i+l不是某个质数的倍数（合数），也就是是合数，但这样判断是有问题的，因为考虑边界问题
        // 1通过上面的代码是无法剔除掉的，也就是说，上面的剔除的是合数，但数字除了合数，可不是只有质数，还有一个特殊的数字1，1即不是质
        // 数也不是合数,这句话可不是说说而已。
        for (int i = 0; i <= r - l; i++)
            if (!b[i] && i + l > 1) // 如果不是合数，并且，不是1，才是质数
                c[++cl] = i + l;    // 区间内的质数多了一个i+l质数

        if (cl < 2)
            puts("There are no adjacent primes.");
        else {
            int mi = 1, mx = 1;            // 第一只猴子就是大王
            for (int i = 1; i < cl; i++) { // 范围是1~cl,而此处因为要枚举的是每个当前i与后一个的关系，所以需要枚举到cl-1
                int d = c[i + 1] - c[i];
                if (d < c[mi + 1] - c[mi]) mi = i;
                if (d > c[mx + 1] - c[mx]) mx = i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", c[mi], c[mi + 1], c[mx], c[mx + 1]);
        }
    }
    return 0;
}