AcWing 1293. 夏洛克和他的女朋友

$AcWing$ $1293$. 夏洛克和他的女朋友

一、题目大意

夏洛克有了一个新女友（这太不像他了！）。

情人节到了，他想送给女友一些珠宝当做礼物。

他买了 $n$ 件珠宝，第 $i$ 件的价值是 $i+1$，也就是说，珠宝的价值分别为 $2,3,…,n+1$。

华生挑战夏洛克，让他给这些珠宝染色，使得一件珠宝的价格是另一件珠宝的价格的质因子时，两件珠宝的颜色不同。

并且，华生要求他 使用的颜色数尽可能少。

请帮助夏洛克完成这个简单的任务。

输入格式
只有一行一个整数 $n$，表示珠宝件数。

输出格式
第一行一个整数 $k$，表示所使用的颜色数；

第二行 $n$ 个整数，表示第 $1$ 到第 $n$ 件珠宝被染成的颜色。

若有多种答案，输出任意一种。

请用 $1$ 到 $k$ 表示你用到的颜色。

数据范围
$1≤n≤10^5$

输入样例1：

3

输出样例1：

2
1 1 2

输入样例2：

4

输出样例2：

2
2 1 1 2

二、解题思路

质数之间彼此互质没有连边，合数之间不满足题意也没有连边，只有质数向合数连边，显然构成了二分图，二分图当然$2$种颜色就可以了。

理解一下样例吧：

//输入
3
//输出
2
1 1 2

表示$2~ 3~ 4$三个数，质数，质数，合数，质数输出$1$,合数输出$2$。

//输入
4
//输出
2
1 1 2 1

表示 $2~3~4~5$ , 这里题目给出的答案与我输出的不一样，$yxc$说有多组答案都可以的时候，后台用$special~judge$进行判断，也是可以的。

注意：当$n<=2$时只有质数，输出$1$，由二分图可知其他情况均为$2$

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 欧拉筛
const int N = 1e5 + 10;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    // 筛出区间内所有质数
    get_primes(N - 1);

    int n;
    cin >> n;
    // 1、质数与质数之间没有边
    // 2、合数可以由它的质因子连边，那么合数与合数之间就是没有边
    // 根据上面的性质，这就是一个由质数集合与合数集合构成的一个二分图，根据二分图染色办法知道，只需要1~2种颜色即可
    n <= 2 ? puts("1") : puts("2"); // n=3时，价值就会出现4，就是有合数出现，这时就是二分图，而且中间有边连接了

    for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
        !st[i] ? printf("1 ") : printf("2 "); // 没有被筛掉的话，是质数，输出1，否则合数输出2

    return 0;
}