FHQ Treap基本原理

$FHQ$ $Treap$

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一、普通$Treap$

$Treap$= $Tree$ + $Heap$
在平衡树的每个节点存放两个信息：

• 值
  值满足二叉搜索树($BST$)的性质

• 随机修复值$fix$
  修复值满足堆的性质

• 二叉搜索树的性质
  当前结点左子树的值都比当前结点值小，反之则一定在右子树上。

• 二叉堆的性质（大根堆）
  父结点的优先级总是大于或等于任何一个子节点的优先级。
  这里提到的优先级，就是上面提到的索引。

总结
在保留二叉搜索树的中序遍历不变的前提下，采用一定的策略(二叉堆+随机数)，使树尽量的均衡，就是平衡树的本质，中庸之道也~

二、$Treap$为什么可以平衡？

我们发现，$BST$会遇到不平衡的原因是因为有序的数据会使查找的路径退化成链
而随机的数据使$BST$退化的概率是非常小的
在$Treap$中，修正值的引入恰恰是使树的结构不仅仅取决于节点的值，还取决于修正值的值
然而修正值的值是随机生成的,出现有序的随机序列是小概率事件,
所以$Treap$的结构是趋向于随机平衡的。

三、$FHQ$ $Treap$

优点：码量小而好写，核心操作的代码都是复读机
好理解、支持的操作多

缺点：常数略大（很大~）

平衡树双子星，很牛B的样子。

四、奇怪的操作

普通$Treap$用来维护树平衡的 奇怪的操作是什么呢？
树旋转

$FHQ$ $Treap$的奇怪操作并且是核心操作只有两个：
$split$ , $merge$

只需掌握好这两个基本操作，那么你基本上就已经掌握了$FHQ$ $Treap$了。

五、$FHQ$存储的信息

结点信息（$5$个）:
左右子树编号 这个所有平衡树都一样
值 $val$
修复值（随机） $fix$
子树大小 $size$

六、分裂($split$)

分裂有两种：按值分裂和按大小分裂

按值分裂：把树拆成两棵树，拆出来的一棵树的值全部小于等于给定的值，另外一部分全都大于给定的值。

按大小分裂:把树拆成两棵树，拆出来的一棵树的值全部小于给定的大小，另外一部分的值全部大于等于给定的大小。

一般当平衡树来用的时候，用的是按值分裂。 在维护区间信息的时候，采用按大小分裂。很经典的例子就是文艺平衡树，这个稍后再说。

七、合并($merge$)

八、代码模板

P3369 【模板】普通平衡树
AcWing 253 普通平衡树

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;


mt19937 rnd(233); //高性能随机数生成器 随机范围大概在(maxint,+maxint),233为种子,19937指该随机数循环节为2^19937

//重定义ls,rs
#define ls tr[p].l
#define rs tr[p].r

struct Node {
    int l, r; //左右儿子的节点号
    int rnd;  //在堆中编号,随机值
    int size; //以当前节点为根的子树中节点的个数
    int val;  //值
    //这里没有记录当前节点值的个数，是不是有点奇怪？
} tr[N];

int root, idx;

//向父节点更新统计信息
void pushup(int p) {
    tr[p].size = tr[ls].size + tr[rs].size + 1;
}

//创建一个新节点
int newnode(int val) {
    tr[++idx].rnd = rand();
    tr[idx].size = 1;
    tr[idx].val = val;
    return idx;
}

//将以p为根的平衡树进行分裂，小于等于x的都放到以pl为根的子树中，大于x都放到以pr为根的子树中
//因为生成的两个子树最终需要返回两个根，所以这里用了引用的方式
void split(int p, int val, int &x, int &y) {
    if (!p) { //当前节点为空，还分裂个屁~
        x = y = 0;
        return;
    }
    if (tr[p].val <= val)             //当前点归左边，如果当前点<=x，那么它的左子必然也<=x
        x = p, split(rs, val, rs, y); //把当前点p接在pl上,继续分它的右子，它的右子可能还有>x的
    else
        y = p, split(ls, val, x, ls); //把当前点p接在pr上，继续分它的左子，它的左子可能还有<=x的

    //推送统计信息
    pushup(p);
}
//将以pl，pr为根的两个子树合并成一棵树
//要求:两个子树的值域不能重叠，没有交叉
int merge(int x, int y) {
    if (!x || !y) return x + y;      //如果pl或者pr有一个是空了，那么返回另一个即可,此处比较取巧，采用了+
    int p;                           //根
    if (tr[x].rnd < tr[y].rnd) {     //两个都不空，谁来当根呢？需要使用小根堆性质，rk小的当根
        p = x;                       // x当根
        tr[x].r = merge(tr[x].r, y); //将y接到x的右子上
    } else {
        p = y;                       // y当根
        tr[y].l = merge(x, tr[y].l); //将x接到y的左子上
    }
    //更新统计信息
    pushup(p);
    return p;
}

//插入操作,插入一个数字val
void insert(int val) {
    int x, y, z;
    split(root, val, x, z);       // 1、小于等于val的划到x子树中，大于val的划到y子树中
    y = newnode(val);             // 2、创建一个新节点y
    root = merge(x, merge(y, z)); // 3、合并三者,因为这三者是需要满足BST有序的，所以顺序不能乱，更新根节点
}

//移除值val
void remove(int val) {
    int x, y, z;
    split(root, val, x, z);       // 1、小于等于v的放x里，大于v的放z里
    split(x, val - 1, x, y);      // 2、继续分裂x,小于等于v-1的放x里，大于v-1的放y里,即y里全部都是等于val的!
    y = merge(tr[y].l, tr[y].r);  // 3、y的左子树和右子树合并，相当于把根节点不要了
    root = merge(x, merge(y, z)); // 4、合并三者,更新根节点
}

//查询某个值的排名
int get_rank_by_key(int val) {
    int x, y;
    split(root, val - 1, x, y); // 1、按val-1分裂，此时x中就是所有<=val-1的数
    int res = tr[x].size + 1;   // 2、统计x为根的树中数字个数+1就是最终排名
    root = merge(x, y);         // 3、还原,这也太暴力了吧~
    return res;                 // 4、返回排名
}

//查询排名的值
int get_key_by_rank(int k) {
    int p = root;
    while (p) {                   // 1、如果当前节点不为空
        if (tr[ls].size + 1 == k) // 2、说明当前节点就是要查找的第k个数
            return tr[p].val;
        if (tr[ls].size >= k) // 3、如果左子树的数字数量大于等于k，在左子树中查找
            p = tr[p].l;
        else
            k -= tr[ls].size + 1, p = rs; // 4、换算下在右子树中查找
    }
    return -1; // 5、没有找到返回-1
}

//寻找v的前驱
int get_prev(int val) {
    int x, y;
    split(root, val - 1, x, y); // 1、按v-1分裂，x里的最大的数就是val的前驱
    int p = x;                  // 2、目标肯定在左子中
    while (rs) p = rs;          // 3、左子的最右边就是答案
    int res = tr[p].val;        // 4、记录答案
    root = merge(x, y);         // 5、还原回去
    return res;
}

//寻找v的后继
int get_next(int val) {
    int x, y;
    split(root, val, x, y); // 1、按v分裂，y里的最小的就是val的后继
    int p = y;              // 2、答案肯定在右子中
    while (ls) p = ls;      // 3、右子的最左边就是答案
    int res = tr[p].val;    // 4、记录答案
    root = merge(x, y);     // 5、还原回去
    return res;
}

int main() {
    // fhq可以有重复的点

    //为了防止找前驱后继时要找的数比FHQ中的数都小/大（比如我们要找FHQ最小的数的前驱）
    //我们可以一开始就加入−∞,∞两个哨兵节点。
    insert(-INF), insert(INF);

    int q;
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        int op, x;
        scanf("%d%d", &op, &x);
        if (op == 1)
            insert(x);
        else if (op == 2)
            remove(x);
        else if (op == 3)
            printf("%d\n", get_rank_by_key(x) - 1);
        else if (op == 4)
            printf("%d\n", get_key_by_rank(x + 1));
        else if (op == 5)
            printf("%d\n", get_prev(x));
        else if (op == 6)
            printf("%d\n", get_next(x));
    }
    return 0;
}