P3372 【模板】线段树 1

$P3372$ 【模板】线段树 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某区间每一个数加上 $k$。
2. 求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n, m$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

1. 1 x y k：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$。
2. 2 x y：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4

样例输出 #1

11
8
20

提示

对于 $30\%$ 的数据：$n \le 8$，$m \le 10$。
对于 $70\%$ 的数据：$n \le {10}^3$，$m \le {10}^4$。
对于 $100\%$ 的数据：$1 \le n, m \le {10}^5$。

保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 $\le {10}^{18}$。

【样例解释】

二、线段树解法

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, q;

// 线段树模板
#define int long long
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1
#define mid ((l + r) >> 1)
struct Node {
    int l, r;
    int sum, add; // 区间总和，累加懒标记
} tr[N << 2];

// 更新统计信息
void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}

void pushdown(int u) {
    if (tr[u].add == 0) return;
    tr[ls].add += tr[u].add;
    tr[rs].add += tr[u].add;
    tr[ls].sum += (tr[ls].r - tr[ls].l + 1) * tr[u].add;
    tr[rs].sum += (tr[rs].r - tr[rs].l + 1) * tr[u].add;
    tr[u].add = 0; // 清除懒标记
}

// 构建
void build(int u, int l, int r) {
    tr[u].l = l, tr[u].r = r; // 标记范围
    if (l == r) {             // 叶子
        cin >> tr[u].sum;     // 区间内只有一个元素l(r),区间和为read(),不需要记录向下的传递tag
        return;
    }
    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r); // 左右儿子构建
    pushup(u);                                // 通过左右儿子构建后，向祖先节点反馈统计信息变化
}

// 区间所有元素加上v
void modify(int u, int L, int R, int v) {
    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
    if (l >= L && r <= R) { // 如果完整被覆盖
        tr[u].sum += (r - l + 1) * v;
        tr[u].add += v;
        return;
    }
    if (l > R || r < L) return;               // 如果没有交集
    pushdown(u);                              // 下传懒标记
    modify(ls, L, R, v), modify(rs, L, R, v); // 修改左，修改右
    pushup(u);                                // 向上汇报统计信息
}

// 查询
int query(int u, int L, int R) {
    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
    if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum;   // 如果完整被覆盖
    if (l > R || r < L) return 0;             // 如果没有交集
    pushdown(u);                              // 下传懒标记
    return query(ls, L, R) + query(rs, L, R); // 查询左+查询右
}

signed main() {
// 文件输入输出
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P3372.in", "r", stdin);
#endif
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> q;

    // 构建线段树
    build(1, 1, n);

    while (q--) {
        int op, l, r, v;
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 1)
            cin >> v, modify(1, l, r, v);
        else
            printf("%lld\n", query(1, l, r));
    }
    return 0;
}

注：加法的懒标记可以叠加，一般初始化为$0$

三、动态开点线段树解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;

// 动态开点线段树
#define int long long
#define ls tr[u].l
#define rs tr[u].r
#define mid ((l + r) >> 1)
struct Node {
    int l, r;
    int sum, add;
} tr[N << 1];

int root, idx;
// 汇总统计信息
void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}
// 创建节点：节点号分配，懒标记初始化
void build(int &u) {
    if (u) return;
    u = ++idx;
    // tr[u].add = 0;
}

void pushdown(int &u, int l, int r) {
    if (tr[u].add == 0) return; // 如果没有累加懒标记，返回
    build(ls);                  // 左儿子创建
    build(rs);                  // 右儿子创建
    // 懒标记下传
    tr[ls].sum += tr[u].add * (mid - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
    tr[rs].sum += tr[u].add * (r - mid);
    tr[ls].add += tr[u].add; // 加法的懒标记可以叠加
    tr[rs].add += tr[u].add;
    // 清除懒标记
    tr[u].add = 0;
}

// 区间修改
void modify(int &u, int l, int r, int L, int R, int v) {
    build(u); // 动态开点

    if (l >= L && r <= R) {           // 如果区间被完整覆盖
        tr[u].add += v;               // 加法的懒标记可以叠加
        tr[u].sum += v * (r - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
        return;
    }
    if (l > R || r < L) return; // 如果没有交集

    // 下传懒标记
    pushdown(u, l, r);
    // 分裂
    modify(ls, l, mid, L, R, v), modify(rs, mid + 1, r, L, R, v);
    // 汇总
    pushup(u);
}

// 区间查询
int query(int u, int l, int r, int L, int R) {
    if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum; // 如果完整命中，返回我的全部
    if (l > R || r < L) return 0;           // 如果与我无关,返回0
    pushdown(u, l, r);
    return query(ls, l, mid, L, R) + query(rs, mid + 1, r, L, R);
}
/*
参考答案：
11
8
20
*/
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P3372.in", "r", stdin);
#endif
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m; // n个节点，m次操作
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        modify(root, 1, n, i, i, x); // 单点修改,赋初值
    }

    while (m--) {
        int op, l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 1) {
            int x;
            cin >> x;
            modify(root, 1, n, l, r, x); //[l,r]区间修改为x
        } else
            cout << query(root, 1, n, l, r) << endl; // 区间sum和
    }
    return 0;
}

四、树状数组实现【不推荐】

区间修改和区间查询,正解还是线段树，不应该是树状数组+推公式，非得要做的话，也可以推导一下：

区间修改，单点查询

如果是区间修改，单点查询。只需用树状数组维护一个差分数组$b$,假设查询位置$x$，那么$\displaystyle \sum_{i=1}^{x}b_i$就是$x$位置上的变化后的值。

区间修改+区间和查询

考虑引入区间查询。首先最暴力想，假设查询$[1,r]$。那么$[1,r]$的答案=$\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{i}b_j$
不妨举个特例，更直观些。假设查询$[1, 4]$。那么$ans=(b_1)+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=4b_1+3b_2+2b_3+1b_4$。

换成查询$[1, r]$。那么$\displaystyle ans=(r+1-1)b_1+(r+1-2)b_2+(r+1-3)b_3+…+(r+1-r)b_r = (r+1)\sum_{i=1}^{r}b_i-\sum_{i=1}^{r}i*b_i$

显然第一项用树状数组$tr1$维护$b$数组可求出,第二项求不出。令$c=i*b[i]$，新开一个树状数组$tr2$维护$c$就行了。

实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;

int n, m; // n个元素，m次操作
int a[N]; // 原始数组

LL tr1[N], tr2[N]; // ① 保存基底数组为原数组差分数组的树状数组 ② i*b[i]的前缀和数组

// 树状数组模板
int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr1[i] += c, tr2[i] += x * c;
}

LL sum(int x) {
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * tr1[i] - tr2[i];
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int x, y, d, op;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        add(i, a[i] - a[i - 1]); // 保存基底是差分数组的树状数组
    }

    while (m--) {
        scanf("%d %d %d", &op, &x, &y);
        if (op == 1) {
            scanf("%d", &d);
            add(x, d), add(y + 1, -d); // 维护差分
        } else                         // 查询
            printf("%lld\n", sum(y) - sum(x - 1));
    }
    return 0;
}