洛谷P1908 逆序对 [树状数组解法]

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首先明白一个概念叫做离散化

在上面介绍的树状数组中，只需要开一个与原序列中最大元素相等的长度数组就行，那么如果我的序列是$1，5，3，8，999$，本来$5$个元素，却需要开到$999$这么大，造成了巨大的空间浪费。

离散化就是另开一个数组$d$， $d[i]$用来存放第$i$大的数在原序列的什么位置，比如原序列$a={5，3，4，2，1}$，第一大就是$5$，他在$a$中的位是$1$，所以$d[1]=1$，同理$d[2]=3$，········所以$d$数组为${1，3，2，4，5}$，转换之后，空间复杂度就没这么高了，但不是求$d$中的逆序对了，而是求$d$中的正序对，来看一下怎么求的：

首先把$1$放到树状数组$t$中，此时$t$只有一个数$1$，$t$中比$1$小的数没有，sum+=0

再把$3$放到树状数组$t$中，此时$t$只有两个数$1，3$，比$3$小的数只有一个，sum+=1

把$2$放到树状数组$t$中，此时$t$只有三个数$1，2，3$，比$2$小的数只有一个，sum+=1

把$4$放到树状数组$t$中，此时$t$只有四个数$1，2，3，4$，比$4$小的数有三个，sum+=3

把$5$放到树状数组$t$中，此时$t$只有五个数$1，2，3，4，5$，比$5$小的数有四个，sum+=4

最后算出来，总共有$9$个逆序对，可以手算一下原序列$a$，也是$9$个逆序对，

具体实现：

• 令$d[1]=1, d[2]=2········a[n]=n$

• 根据原数组$a$中的元素的大小进行排序

二、黄海修改后的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500010;
typedef long long LL;
#define lowbit(x) (x & -x)
LL ans;
int n;

//每个输入的数字，我们关心两个方面：1、数值 2、位置(序号)
struct Node {
    int val;
    int id;
} d[N];

bool cmp(Node a, Node b) {
    if (a.val == b.val) return a.id > b.id; //两个数一样大，序号大的靠前，这样统计出来的正序对才正确
    return a.val > b.val;                   //数不一样大，数大的靠前
}

//下面是树状数组模板
int t[N];

//将序列中第x个数加上k
void add(int x, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += k;
}
//查询序列前x个数的和
int sum(int x) {
    int sum = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += t[i];
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    //读入每个数，分别将数值、序号记录到结构体数组d中
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &d[i].val);
        d[i].id = i;
    }
    //对结构体数组进行排序，大的在前，小的在后；如果数值一样，序号大的在前，小的在后
    sort(d + 1, d + 1 + n, cmp);

    //逆序对的定义：i<j && d[i]>d[j]
    // d数组是由大到小排完序的，按由大到小的顺序动态维护树状数组，计算每次变化后出现的i<j 的个数。
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //将d[i].id放入树状数组，描述这个号的数字增加了1个
        add(d[i].id, 1);
        //查询并累加所有比当前节点id小的数字个数
        ans += sum(d[i].id - 1);
    }
    //输出结果
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

三、原版本代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500010;
typedef long long LL;
LL ans;

//原数组/ 离散化后的数组/ 树状数组
int a[N], d[N], t[N];

int n;

bool cmp(int x, int y) {
    if (a[x] == a[y]) return x > y; //避免元素相同
    return a[x] > a[y];             //按照原序列第几大排列
}

//返回非负整数x在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
//将序列中第x个数加上k
void add(int x, int k) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += k;
}
//查询序列前x个数的和
int sum(int x) {
    int sum = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += t[i];
    return sum;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    //离散化,初始化d数组的值为索引号
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), d[i] = i;
    //对d数组进行排序，排序的依据是a[index]的大小，大的在前，小的在后，如果一样的话，index大的在前
    sort(d + 1, d + n + 1, cmp);
    //如此操作后，d数组记录的是离散化后，第i大的数出现在原来的哪个位置上
    //比如 d[1]=5 ，描述着第1大的数字，原来是第5号的位置

    //遍历d数组，找出正序对，对应着原数组的逆序对
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add(d[i], 1);
        ans += sum(d[i] - 1);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}