CF438D The Child and Sequence

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一、题目大意

给你一个序列，你要在这个序列上进行操作。

• 操作\(1\)
  给定区间\([l,r]\)，对序列中这个区间中每个数字累加求和。

• 操作\(2\)
  给定区间\([l,r]\) 和 \(x\),对区间每个数字对\(x\)取模。

• 操作\(3\)
  给定两个数\(i,k\)，将\(a[i]\)的值修改为\(k\)。

二、思路

注意到\(m = 1e5\)，所以整体时间复杂度\(O(nlog n)\)，也就是说你的所有操作时间复杂度不超过\(O(log n)\)才过通过这个题。

注意到区间求和，单点操作用线段树都可以在\(O(log n)\)做到，唯一有难度的就是操作对区间所有数取模。

首先考虑一个小小的剪枝，如果某个区间里面的最大数都\(<x\)，那么这个区间不用管了，也就是说对于区间内的每个数\(x\)，对它取模，这个数至少会减低\(x/2\)，那么我们每次对这个数进行取模，这个数到\(0\)的时间复杂度也无非就是\(O(logx)\)，所以整体时间复杂度\(O(mlogmlogx)\)，带两个\(log\)是可以过这道题的。

三、实现代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1

int n, m;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];

struct Node {
    int l, r;
    LL sum, max;
} tr[N << 2];

void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
    tr[u].max = max(tr[ls].max, tr[rs].max);
}

void build(int u, int l, int r) {
    tr[u] = {l, r, 0, 0};
    if (l == r) {
        tr[u].max = tr[u].sum = a[l];
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);

    pushup(u);
}

void modify(int u, int x, int c) {
    if (tr[u].l > x || tr[u].r < x) return;
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        tr[u].sum = tr[u].max = c;
        return;
    }
    modify(ls, x, c), modify(rs, x, c);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int l, int r, int x) {
    if (tr[u].l > r || tr[u].r < l) return;
    if (tr[u].max < x) return; //剪枝
    
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        tr[u].sum %= x;
        tr[u].max = tr[u].sum;
        return;
    }
    modify(ls, l, r, x), modify(rs, l, r, x);
    pushup(u);
}

LL query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l > r || tr[u].r < l) return 0;
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
    return query(ls, l, r) + query(rs, l, r);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    build(1, 1, n);

    int l, r, k, x;
    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            cin >> l >> r;
            printf("%lld\n", query(1, l, r));
        }
        if (op == 2) {
            cin >> l >> r >> x;
            modify(1, l, r, x);
        }
        if (op == 3) {
            cin >> k >> x;
            modify(1, k, x);
        }
    }
    return 0;
}