AcWing 1371. 货币系统

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一、解题思路

状态表示： f[i][j] 表示 从前i种货币中选，且总价值恰好为j的所有选法集合的方案数。

那么f[n][m]就表示表示 从前n种货币中选，且总价值恰好为m的所有选法集合的方案数，即为答案。

集合划分：

按照第i种货币可以选 0个,1个，2个，3个，，，，k个划分集合 f[i][j]。其中k*w[i] <= j,也就是说在背包能装下的情况下，枚举第i种货币可以选择几个。

状态计算：

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-w[i]]+f[i-1][j-2*w[i]],,,,,,+f[i-1][j-k*w[i]]

二、二维实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 30;
const int M = 1e4 + 10;
LL f[N][M];
int w[N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);

    f[0][0] = 1; // 使用0种货币，凑0元钱,也是一种方案。可以理解为是超级源点，有了它，每个基础货币价格才成为合法~
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k * w[i] <= j; k++)
                f[i][j] += f[i - 1][j - k * w[i]];
        }
    printf("%lld\n", f[n][m]);
    return 0;
}

考虑优化

完全背包求方案数二维降一维的推导过程

设第$i$个物品的体积:$v=w[i]$

二维递推式
$f[i][j] = f[i-1][j]+$$f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][j - (j/v) * v ]$ ①

尝试计算$f[i][j-v]$:
$f[i][j-v]= f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][(j-v) - (j-v)/v * v ]$

化简与等价变型
$(j-v) - (j-v)/v * v = j-v -(j/v)*v+v= j - (j/ v)*v$

$f[i][j-v]=$ $f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+...+f[i-1][ j - (j/ v)*v]$ ②

将②代入①得：
$f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-v]$

根据$01$背包优化的经验，我们知道从小到大去填充的话，就可以去掉第一维

得$f[j]=f[j]+f[j-v]$

即 $f[j]+=f[j-w[i]]$

三、一维实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e4 + 10;
LL f[N];
int w[N];
int main() {
    int m, n;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = w[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - w[i]];
    printf("%lld\n", f[m]);
    return 0;
}