HDU 3577 Fast Arrangement [线段树+区间修改+维护最大值]
\(HDU\) \(3577\) \(Fast\) \(Arrangement\)
一、题目解析
由于中国庞大的人口和站台，总是出现票的问题，现在政府需要你去开发一个新的查票系统。
一个火车只能载\(k\)个乘客，并且每个乘客仅仅只能从\(a->b\)买一张票，在任何时间每辆火车载客不超过\(k\)人，一个人提前买的票将是有效的。
需要注意的是这个人在\(b\)点下车了，座位就空出来了，可以卖给下一个人，即每个区间是\([a,b)\)
输入：
多组测试数据，第一行测试组数，接下来每组的第一行，为\(k\)（列车的承载人数），\(Q\)（几组数据）；接下来\(Q\)行，每行有两个数字\(a\)和\(b\)
输出：
每组测试数据输出三行，第一行测试组数，如果第\(i\)次查询满足题意输出从\(1\)到\(i\)，每个数字有一个空格，每组测试后有一个空行
测试用例
1
3 6
1 6
1 6
3 4
1 5
1 2
2 4
输出
Case 1:
1 2 3 5
解释样例：
1 6: 从\(1\)上车，到\(6\)下车,此时\(1\sim 5\)存在\(1\)人
1 6: 从\(1\)上车，到\(6\)下车,此时\(1\sim 5\)存在\(2\)人
3 4: 从\(3\)上车，到\(4\)下车,此时\(1 \sim 2\)两人，\(3\)存在最大人数\(3\)人,\(4 \sim 5\)存在\(2\)人
1 5: 从\(1\)上车，到\(5\)下车,此时遇到问题，\(3\)站点已经\(3\)人，再卖给\(1 \sim 5\)就冲突了，失败
1 2: 从\(1\)上车，到\(2\)下车,此时\(1\)是\(3\)人,\(2\)是两人，没有问题
2 4: 从\(2\)上车，到\(4\)下车,此时\(3\)站点存在问题，失败
综上，可以售卖的是\(1\sim 2 \sim 3 \sim 5\)
二、经验总结
性质
区间维护最大值、最小值，如果区间整体加了一个值\(v\),最大值、最小值也需要加\(v\)。
-
本题就是区间全部加上一个\(1\),然后由线段树记录、查询出指定区间内的最大值即可。
-
同时需要注意的是开闭区间的处理，开区间，也就是不包括的那个点，不进行计算即可。
懒标记的叠加
懒标记的使用可以大大提高线段树的效率，特别是在处理范围更新操作时。对于某些操作，懒标记可以叠加使用，即多个操作可以同时存在于同一个节点上，而不必立即执行。
这种叠加的原因是因为某些操作具有可累加性质。比如，在线段树中使用懒标记进行区间加法操作，假设有两个区间 \([l1, r1]\) 和 \([l2, r2]\)，且它们满足 \(l2 > r1\)，则这两个区间的加法操作可以叠加在同一个节点上，只需要记录增加的值即可。当查询某个位置时，需要将懒标记叠加的值依次累加到查询结果中。
值得注意的是，并不是所有的操作都可以叠加使用懒标记。一些操作，比如区间赋值操作，就不适合叠加懒标记，因为这些操作会直接覆盖原有的值，而不是进行简单的加法或乘法等运算。在使用懒标记的时候，需要根据具体的操作和需求来确定是否可以叠加使用懒标记。
三、实现代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
// 线段树模板
struct Node {
int l, r;
int mx; // 区间人数最大值
int tag; // 懒标记
} tr[N << 2];
void pushup(int u) {
tr[u].mx = max(tr[u << 1].mx, tr[u << 1 | 1].mx); // 向上更新区间最大值
}
void pushdown(int u) {
if (tr[u].tag) { // 如果u节点有懒标记
tr[u << 1].tag += tr[u].tag, tr[u << 1].mx += tr[u].tag; // 将懒标记下传给左儿子，并且，区间整体加上一个数，意味着区间最大值也加上了这个数
tr[u << 1 | 1].tag += tr[u].tag, tr[u << 1 | 1].mx += tr[u].tag; // 同上
tr[u].tag = 0; // 清除u节点懒标记
}
}
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = {l, r};
if (l == r) return; // 这里与前一个题不同，不需要初始值1，因为表示默认没有人在这个区间坐车
int mid = (l + r) >> 1;
build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
// 此题因为只是构建一个空的线段树，不需要更新父节点信息
// 当然，为了和背的模板一样，也可以无脑的写上pushup(u);
pushup(u);
}
// 区间[l,r]统一增加v
void modify(int u, int l, int r, int v) {
if (l <= tr[u].l && r >= tr[u].r) {
tr[u].tag += v; // 懒标记 (什么时候懒标记可以叠加，什么时候不可以呢？)
tr[u].mx += v; // 区间人数最大值也需要加上v
return;
}
// 下放懒标记
pushdown(u);
// 分裂
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, v); // 与左区间有交集
if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, v); // 与右区间有交集
pushup(u); // 将结果的变更更新到祖先节点
}
int query(int u, int l, int r) {
if (l > tr[u].r || r < tr[u].l) return 0; // 递归出口，不在我管辖范围内的情况，返回0
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].mx; // 完整区间覆盖，返回区间和
// 下放懒标记
pushdown(u);
// 分裂
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
int mx = 0;
if (l <= mid) mx = query(u << 1, l, r); // 与左子区间有交集
if (r > mid) mx = max(mx, query(u << 1 | 1, l, r)); // 与右子区间有交集
return mx;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("HDU3577.in", "r", stdin);
#endif
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
int T;
int k, q;
int a, b;
cin >> T;
int cas = 0;
while (T--) {
cin >> k >> q;
// 构建线段树
build(1, 1, N); // 学会上限的处理技巧
vector<int> res;
for (int i = 1; i <= q; i++) {
cin >> a >> b;
// a上车，b下车，b位置可以售卖，[a,b)
// 总结：这玩意开区间的位置不在讨论范围内啊，不用处理就OK啊~
// 准备在区间[a,b)售票，区间的最大值是k-1,保证在区间内不超过k
if (query(1, a, b - 1) < k) {
// 对于线段树的[a,b)=[a,b-1]整体区间+1
modify(1, a, b - 1, 1);
// 记录第i次操作是成功的操作
res.push_back(i);
}
}
printf("Case %d:\n", ++cas);
// 注意格式输出
for (auto c : res) printf("%d ", c);
printf("\n\n");
}
return 0;
}
