蓝桥杯包子凑数（完全背包、裴蜀定理、赛瓦维斯特定理）

一、题目来源

$2017$ 年蓝桥杯软件类省赛 $C++$ 语言大学 $A$ 组第 $8$ 题"包子凑数"，一道数论题。

2022年4月青少年蓝桥杯赛第二次省赛初级+中高级组第三题

这也太 $tm$ 内卷了，拿这个来考三年级的小孩子！真是太 $BT$ 了！还第三题！！！

二、解题思路

裴蜀定理
简单来说，我们设 $d = gcd(a,b)$ ，那么对于方程 $ax+by=d$ ，一定存在一组整数解。并且对于方程 $ax + by = z$ ，如果满足 $d∣z$ ，那么方程一定有整数解，否则无整数解。

根据裴蜀定理，当所有种类的蒸笼包子数的最大公约数不为 $1$ 时，凑不出的包子数为无限多，因为无论蒸笼怎么组合都必须得是 $gcd$ 得倍数， $gcd$ 不为 $1$ 一定会有凑不出的。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/**
 测试用例
 2
 3 5

 答案
 4
 */
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 5;

LL f[N];  //表示凑出j个包子的方法总数
int a[N]; //每种规格中包子的数量
int ans;  //组装不出来的包子个数

//最大公约数，辗转相除法
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    //赛瓦维斯特定理 :  两个互质数a,b表示不出来的最大数字是 a∗b−a−b
    //下面排序后找出极小值与次小值，它们的乘积再减去极小和次小，就是极限值
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    int m1 = a[1], m2 = a[2]; //最小和次小
    int M = m1 * m2 - m1 - m2;

    //求出所有数字的最大公约数
    int g = a[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) g = gcd(g, a[i]);

    /*裴蜀定理:如果所有数字的最大公约数大于1，那么必然存在无法表示出的数字。
     不互质栗子:
     比如3 和 6      两种规格，能组装的就是 3,6,9,12,15,这个变化就是它们的最大公约数3。
     比如3 和 6 和 9 三种规格, 能组装的也是 3,6,9,12,15,这个变化就是它们的最大公约数3。
     此时 ，类似于 1,2,4,5,7,...之类的数字均是无法凑出的，有无穷多个。

     互质栗子:
     比如 3 和  4   两种规格， 能组装的就是 3,4,6,7,8,9,10,11,12...., 根据赛瓦维斯特定理，我们知道，最大的不能组装的数字是3*4-3-4=5
     比如 3 和  4 和 6 三种规格，因为3，4就能组装出5以上的所有数字，所以我们只需要从最小a[1]到 M 中查找即可。
    */
    if (g > 1) {
        cout << "INF" << endl; // cout << -1 << endl; //青少组要求输出-1
        return 0;
    }

    /**
      完全背包
      f[j]表示凑出j个包子的方法总数，简单说就是如果f[j]>0就凑得出，f[j]=0就凑不出。
      递推式 f[j]=f[j−第i种蒸笼包子数]+1 (f[j−第i种蒸笼包子数]>=1)
      当j−第i种蒸笼包子数是可以凑成的，那么只需对其+第i种蒸笼包子数就可以凑成j个包子数。
     */
    f[0] = 1; //  0个包子这个状态是合法的，是可以到达的状态。而且只能是一种方案，就是不管是哪种规格，一概不要
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            if (j >= a[i] && f[j - a[i]]) f[j]++;

    //枚举每个可能的数字，如果这个数字存在1种以上的方案，就是可以凑出，否则就是无法凑出
    for (int i = 1; i <= M; i++)
        if (!f[i]) ans++;

    //输出答案
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

赛瓦维斯特定理
如果能够凑出的数有限，那么到达某个界限后都是凑得出的，这个界限为 $a*b-a-b$ 。这里由于有多个数字，我们可以采用最大做为 $a$ ,次大做为 $b$ 来求解。
递推关系
$dp[i]$ 表示凑出 $i$ 个包子的方法总数，简单说就是如果其 $>=1$ 就凑得出， $==0$ 就凑不出。