【学习笔记】权值线段树

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挖坑待填

一. 权值线段树

权值线段树即一种线段树，以序列的数值为下标。节点里所统计的值为节点所对应的区间 $[l,r]$ 中，$[l,r]$ 这个值域中所有数的出现次数。

举个例子，有一个长度为 $10$ 的序列 {$1,5,2,3,4,1,3,4,4,4$}。

那么统计每个数出现的次数。易知 $1$ 出现了 $2$ 次，$2$ 出现了 $1$ 次，$3$ 出现了 $2$ 次，$4$出现了 $4$次，$5$ 出现了 $1$ 次。

那么我们可以建出一棵这样的权值线段树：

从网上搬的。节点中的数字代表节点对应区间中所有数的出现次数。

• 每个叶子节点的值： 代表 这个值的出现次数。

• 非叶子节点的值：代表了某一个值域内，所有值出现次数的和。

上面的权值线段树中，$6,7,8$ 并没有出现，然而却被建出。如果序列的数 $a_i$ 的取值范围是 $w$，那么我们的树就需要 $O(wlogw)$ 的空间。这对于大部分题都是无法忍受的。

所以考虑动态开点。一般的线段树，对于节点 $p$，其 $ls,rs$ 一般都是 $p×2$,$p×2+1$，而这里我们直接定义两个数组 $ls[p]$,$rs[p]$ 来表示节点 $p$ 的左右儿子。

那么这样，我们会建出 $O(n)$ 个叶子结点，而对于每一个叶子结点往上还有 $O(logw)$ 的深度，所以总的空间复杂度降为 $O(nlogw)$。

小结：权值线段树采用动态开点以节省空间，防止序列的最大值太大导致超内存。

考虑如何用代码实现建树的过程:

inline void pushup(int p){
	tr[p]=tr[ls[p]]+tr[rs[p]];
	return;
}

inline void update(int &p,int l,int r,int now){
	if(!p)p=++id;
	if(l==r){
		tr[p]++;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(now<=mid)update(ls[p],l,mid,now);
	else update(rs[p],mid+1,r,now);
	pushup(p);
	return;
}

我们可以实现在 $update$ 的过程用中 $build$。

我们将 $p$ 传参，若 $p$ 未出现过则直接用 $++id$ 来新建节点。

$l,r$ 表示当前节点所代表的的区间。$now$ 表示当前 $update$ 往权值线段树中加入的值，那么我们就在对于包含 $now$ 的全部区间上的值都加一。

剩下的部分在例题中具体实现。

二、例题

• $P1908$ 逆序对
  相信大家都做过。

那么考虑使用权值线段树解法。

求逆序对，从左往右遍历数组，遍历到 $i$ 时，检查一下已经遍历的值 $a_1∼a{i−1}$ 中，有多少比它大的即可。

这可以用权值线段树来实现。