AcWing 1277. 维护序列
\(AcWing\) \(1277\). 维护序列
一、题目大意
老师交给小可可一个维护数列的任务，现在小可可希望你来帮他完成。
有长为 \(N\) 的数列，不妨设为 \(a_1,a_2,…,a_N\)。
有如下三种操作形式：
- 把数列中的一段数全部乘一个值；
- 把数列中的一段数全部加一个值；
- 询问数列中的一段数的和，由于答案可能很大，你只需输出这个数模 \(P\) 的值。
输入格式
第一行两个整数 \(N\) 和 \(P\)；
第二行含有 \(N\) 个非负整数，从左到右依次为 \(a_1,a_2,…,a_N\)；
第三行有一个整数 \(M\)，表示操作总数；
从第四行开始每行描述一个操作，输入的操作有以下三种形式：
- 操作 \(1\)：
1 t g c，表示把所有满足 \(t≤i≤g\) 的 \(a_i\) 改为 \(a_i×c\)； - 操作 \(2\)：
2 t g c，表示把所有满足 \(t≤i≤g\) 的 \(a_i\) 改为 \(a_i+c\)； - 操作 \(3\)：
3 t g，询问所有满足 \(t≤i≤g\) 的 \(a_i\) 的和模 \(P\) 的值。
同一行相邻两数之间用一个空格隔开，每行开头和末尾没有多余空格。
输出格式
对每个操作 \(3\)，按照它在输入中出现的顺序，依次输出一行一个整数表示询问结果。
数据范围
\(1≤N,M≤10^5, \\
1≤t≤g≤N, \\
0≤c,ai≤10^9,\\
1≤P≤10^9\)
输入样例：
7 43
1 2 3 4 5 6 7
5
1 2 5 5
3 2 4
2 3 7 9
3 1 3
3 4 7
输出样例：
2
35
8
样例解释
初始时数列为 {\(1,2,3,4,5,6,7\)}；
经过第 \(1\) 次操作后，数列为 {\(1,10,15,20,25,6,7\)}；
对第 \(2\) 次操作，和为 \(10+15+20=45\)，模 \(43\) 的结果是 \(2\)；
经过第 \(3\) 次操作后，数列为 {\(1,10,24,29,34,15,16\)}；
对第 \(4\) 次操作，和为 \(1+10+24=35\)，模 \(43\) 的结果是 \(35\)；
对第 \(5\) 次操作，和为 \(29+34+15+16=94\)，模 \(43\) 的结果是 \(8\)。
二、解题思路
首先考虑线段树结构体需要存储哪些信息：
区间信息 \(l\) \(r\)
区间和 \(sum\)
懒标记 \(add\) \(mul\)
然后考虑懒标记的更新，有两种优先级：
-
先加法再乘法，即\((x+a)*b\)，此时再进行一次乘法操作得到\((x+a)*b*c\)是可以维护乘\((x+a)*b\)的形式的，但如果进行一次加法操作\((x+a)*b+c\)就不好维护成\((x+a)*b\)的形式了。
-
先乘法再加法，即\((x*a)+b\)，此时再进行一次乘法操作\((x*a+b)*c=(x*a*c)+b*c\)，进行一次加法操作\((x*a+b)+c=x*a+b+c\)，都可以维护成\((x+a)*b\)的形式。
所以选择第二种优先级表达，即先乘法再加法，与算数运算一致。
接下来考虑操作，不妨把加法和乘法看作一次基础操作，即通通化为\((x*a+b)\)，加法令\(a=1\)，乘法令\(b=0\)。所以\((x*a+b)*c+d=x*a*c+b*c+d\)。
void eval(Node &t, LL add, LL mul){
t.sum = (t.sum * mul+(t.r-t.l+1)*add) % p ;// 先更新区间和信息
t.mul = t.mul * t.mul % p;
t.add = (t.add * mul + add ) % p;
}
然后再在\(pushdown\)中对两个儿子调用这个基础操作。
三、实现代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
//线段树宏定义
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1
const int N = 100010;
// n:N 个非负整数 p:数模 P 的值 m:操作总数
int n, p, m;
int w[N];
struct Node {
int l, r;
LL sum, add, mul;
} tr[N << 2];
void pushup(int u) {
tr[u].sum = (tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum) % p; //更新sum和信息
}
//计算函数
void eval(Node &t, LL add, LL mul) {
t.sum = (t.sum * mul + (t.r - t.l + 1) * add) % p;
t.mul = t.mul * mul % p;
t.add = (t.add * mul + add) % p;
}
void pushdown(int u) {
eval(tr[ls], tr[u].add, tr[u].mul); //处理左儿子
eval(tr[rs], tr[u].add, tr[u].mul); //处理右儿子
tr[u].add = 0, tr[u].mul = 1; //清空懒标记
}
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = {l, r, w[r], 0, 1};
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
pushup(u);
}
void modify(int u, int l, int r, int add, int mul) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {
eval(tr[u], add, mul);
return;
}
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (l <= mid) modify(ls, l, r, add, mul);
if (r > mid) modify(rs, l, r, add, mul);
pushup(u);
}
int query(int u, int l, int r) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
int sum = 0;
if (l <= mid) sum = query(ls, l, r);
if (r > mid) sum = (sum + query(rs, l, r)) % p;
return sum;
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> p;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i];
//构建线段树,root=1,l=1,r=n
build(1, 1, n);
cin >> m;
while (m--) {
int t, l, r, d;
cin >> t >> l >> r;
if (t == 1) { //乘
cin >> d;
modify(1, l, r, 0, d);
} else if (t == 2) { //加
cin >> d;
modify(1, l, r, d, 1);
} else //查
printf("%d\n", query(1, l, r));
}
return 0;
}
