AcWing 246. 区间最大公约数
\(AcWing\) \(246\). 区间最大公约数
一、题目描述
给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(A\)，以及 \(M\) 条指令，每条指令可能是以下两种之一：
C l r d，表示把 \(A[l],A[l+1],…,A[r]\) 都加上 \(d\)Q l r，表示询问 \(A[l],A[l+1],…,A[r]\) 的最大公约数(\(GCD\))。
对于每个询问，输出一个整数表示答案。
输入格式
第一行两个整数 \(N,M\)。
第二行 \(N\) 个整数 A[i] 。
接下来 \(M\) 行表示 \(M\) 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。
输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。
每个答案占一行。
数据范围
\(N≤500000,M≤100000,1≤A[i]≤10^{18},|d|≤10^{18}\),
保证数据在计算过程中不会超过 long long 范围。
输入样例：
5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4
输出样例：
1
2
4
二、解题思路
1、更相减损术
那么根据 更相减损术
则有：\(\large gcd(a,b)=gcd(a,b−a)\)
最大公约数有这样一个性质：
\(\large gcd(a_1,a_2,…,a_n)=gcd(a_1,a_2−a_1,…,a_n−a_{n−1})\)
证明
为保证题解的主体部分清晰，证明放在最后
我们想要求的就是：\(\large (A_l,A_{l+1},A_{l+2}…A_r)\)这个区间的 最大公约数
根据上面的 更相减损数理论，就是在求下面区间的 最大公约数:
稍微转化一下，得到：
这个东西要一分两半来看：
-
① \(A[l]\):因为我们维护的是一个差分数组的线段树,所以可以转化为差分的写法：
\[\large A[l]=sum(b[1],b[2],...,b[l]) \] -
② 后面的那一坨
\[\large (b[l+1],b[l+2],b[l+3],…,b[r]) \]就是区间\(l+1 \sim r\)的最大\(gcd\)值，这个东西在线段树的节点上以结构体形式保存着呢，可以直接
Node right=query(1,l+1,r)查询出来,\(right.d\)就是最大公约数 -
③ 最后两者打一下擂台：
求\(\large (A_l,A_{l+1},A_{l+2}…A_r)\)这个区间的最大公约数，就是
res=abs(gcd(left.sum,right.d))
2、差分数组
因为涉及到 区间修改 的问题，上面的分析已经很清楚，需要引入差分数组解决，如果引入了差分数组，那么区间的+修改动作，可以转化两个点的修改动作，即区间修改通过差分数组简化为单点修改。
设原数组为$ a[i]$，对应的差分数组 $ b[i]\(：\)b_i=a_i−a_{i−1}$
那么线段树维护这个\(b\)数组就可得到 单点修改从而改变整个区间 的效果。
3、负数的最大公约数
注意\(gcd\)操作是没有负数的，所以需要进行\(abs\)。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 500010;
int n, m;
LL a[N];
struct Node {
int l, r;
LL sum; // 区间总和
LL d; // 区间内的最大公约数
} tr[N << 2];
// 求最大公约数
LL gcd(LL a, LL b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
// 函数重载
void pushup(Node &u, Node &l, Node &r) {
u.sum = l.sum + r.sum; // 更新父节点的区间和
u.d = gcd(l.d, r.d); // 计算区间的最大公约数
}
void pushup(int u) {
pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}
// 构建
void build(int u, int l, int r) {
tr[u] = {l, r}; // 构建时，最重要的是确定区间范围
if (l == r) {
LL b = a[r] - a[r - 1]; // 更相减损数,所以按原数组差分构建,yxc大佬很良心修改了试题，添加了1e18的数据范围说明
tr[u] = {l, r, b, b}; // 当是叶子节点时，区间和就是自己，区间最大公约数也是自己
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
// 子节点变更需要更新父节点需要更新父节点的总和、最大公约数
pushup(u);
}
// 以u为根的子树中，修改位置为x的节点，值为+v
void modify(int u, int x, LL v) {
if (tr[u].l == tr[u].r) { // 叶子
tr[u].sum += v; // 叶子值+d
tr[u].d = tr[u].sum; // 叶子，就是一个数，不是区间，最大公约数是自身
return;
}
int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
if (x <= mid) // x在左侧
modify(u << 1, x, v); // 让左儿子处理
else // x在右侧
modify(u << 1 | 1, x, v); // 让右儿子处理
// u的子节点数据变更，需要从u开始向上更新父节点信息
pushup(u);
}
// 查询
Node query(int u, int l, int r) {
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (r <= mid) return query(u << 1, l, r);
if (l > mid) return query(u << 1 | 1, l, r);
Node left = query(u << 1, l, mid);
Node right = query(u << 1 | 1, mid + 1, r);
// 合并区间结果
Node res;
pushup(res, left, right);
return res;
}
int main() {
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
// 因为差分的r+1可能越界，这里在建立线段树时就多创建一个位置就OK!
build(1, 1, n + 1); // 看来线段树也没有必要可丁可卯，开大1个2个也没啥问题
int l, r;
LL d;
char op;
while (m--) {
cin >> op >> l >> r;
if (op == 'Q') {
Node left = query(1, 1, l); // 1~l求sum
// 如果存在后半段
if (l < r) {
Node right = query(1, l + 1, r);
printf("%lld\n", abs(gcd(left.sum, right.d)));
} else // l==r
// 如果不存在后半段，那么就只有前半部分的sum和
printf("%lld\n", abs(left.sum));
} else {
cin >> d;
// 差分
modify(1, l, d), modify(1, r + 1, -d);
}
}
return 0;
}
四、多项的更相减损数证明
这里简单证明一下，根据性质\(gcd(a,b)=gcd(b,a)，gcd(a,b)=gcd(a,b−a)，gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)\)，有
练习
例题：求\((326,78)\)
\(326=4×78+14(78,14)\)
\(78=5×14+8 (14,8)\)
\(14=1×8+6 (6,8)\)
\(8=1×6+2 (6,2)\)
\(6=3×2 (0,2)\)
所以\((326,78)=2\)。这和我们用更相减损术算出来的结果是一样的。
例题：求\((4,18,22,16)\)
取最小的数\(4\),其他的每一个数都与之相减，结果与\(4\)组成新的一组数，那么新数组与原数组的最大公因数相等，当出现零以后，排开零对剩下的数进行相同的处理。即：
\((4,18,22,16)=(4,14+4,18+4,12+4)=(4,14,18,12)\)
\(=(4,10,14,8)=(4,6,10,4)=(4,2,6,0)=(0,2,2,4)=(0,2,0,2)=(0,0,2,0)=2\)
所以\((4,18,22,16)\)的最大公因数为\(2\).
