AcWing 243. 一个简单的整数问题2

$AcWing$ $243$. 一个简单的整数问题2

一、题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$条指令，每条指令可能是以下两种之一：
C l r d，表示把 $A[l],A[l+1],…,A[r]$ 都加上 $d$。
Q l r，表示询问数列中第 $l∼r$个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。
输入格式
第一行两个整数 $N,M$。

第二行 $N$个整数 $A[i]$。

接下来 $M$ 行表示 $M$条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

$1≤N,M≤105$,$|d|≤10000,|A[i]|≤10^9$

二、树状数组

树状数组解决的问题	操作对象	例题
单点修改，区间查询	前缀和	点我
区间修改，单点查询	一个差分数组	点我
区间修改，区间和查询	两个差分数组	本题

区间修改，单点查询

如果是区间修改，单点查询。只需用树状数组维护一个差分数组$b$,假设查询位置$x$，那么$\displaystyle \sum_{i=1}^{x}b_i$就是$x$位置上的变化后的值。

区间修改+区间和查询

考虑引入区间查询。首先最暴力想，假设查询$[1,r]$。那么$[1,r]$的答案=$\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{i}b_j$
不妨举个特例，更直观些。假设查询$[1, 4]$。那么$ans=(b_1)+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=4b_1+3b_2+2b_3+1b_4$。

换成查询$[1, r]$。那么

$$\large ans = r*b_1+(r-1)*b_2+(r-3)*b_3+...+1*b_r \\=(r+1-1)b_1+(r+1-2)b_2+(r+1-3)b_3+…+(r+1-r)b_r \\= (r+1)\sum_{i=1}^{r}b_i-\sum_{i=1}^{r}i*b_i$$

三、树状数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;

// 树状数组
typedef long long LL;
#define lowbit(x) (x & -x)
LL c1[N], c2[N];
void add(LL x, LL d) {
    for (LL i = x; i < N; i += lowbit(i)) c1[i] += d, c2[i] += x * d;
}

LL sum(LL x) {
    LL res = 0;
    for (LL i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * c1[i] - c2[i];
    return res;
}

int n, m;
LL a[N];

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("243.in", "r", stdin);
#endif
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i] - a[i - 1]); // 保存基底是差分数组的树状数组
    }

    while (m--) {
        string op;
        int x, y, d;
        cin >> op;
        if (op[0] == 'Q') {
            cin >> x >> y;
            printf("%lld\n", sum(y) - sum(x - 1));
        } else {
            cin >> x >> y >> d;
            add(x, d), add(y + 1, -d); // 维护差分
        }
    }
    return 0;
}

代码细节解读

void add(LL x, LL v) {
    for (LL i = x; i < N; i += lowbit(i)) c1[i] += v, c2[i] += x * v;
}

LL sum(LL x) {
    LL res = 0;
    for (LL i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * c1[i] - c2[i];
    return res;
}

概念说明

• ① $b[i]=a[i]-a[i-1]$ : 原数组的差分数组

• ② $c_1[]$:差分数组$b[]$对应的, 用于快速同步修改，快速统计分析 用的 树状数组,利用树状数组前缀和的特性，快速获取到区间修改后的单点值。

• ③ $c_2[]$维护的是$i * b[i]$的前缀和

修改流程

当我们给$a[i] \sim a[j]$加上$d$时，对应$c_1[]$就是差分的 双点 修改:

add(x,d),add(y+1,-d);

对应的内部逻辑就是辅助数组$c_2[]$,它是差分数组$i*b[i]$的前缀和，原数组修改一下，它就跟着修改一下：

  for (LL i = x; i < N; i += lowbit(i)) c1[i] += v, c2[i] += x * v;

而在查询时，按推出的公式查询即可

for (LL i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * c1[i] - c2[i];

四、线段树+区间修改+懒标记+区间和查询

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010;

int n, m;
int a[N];
struct Node {
    int l, r;
    LL sum, tag; // 区间总和，修改的数值（懒标记）
} tr[N << 2];

// 向祖先节点更新统计信息
void pushup(int u) {
    tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum; // 向父节点更新sum和
}

// 父节点向子节点传递懒标记
void pushdown(int u) {
    auto &root = tr[u], &ls = tr[u << 1], &rs = tr[u << 1 | 1];
    if (root.tag) { // 如果存在懒标记
        // tag传递到子段，子段的sum和需要按 区间长度*root.tag 进行增加
        ls.tag += root.tag, ls.sum += (LL)(ls.r - ls.l + 1) * root.tag;
        rs.tag += root.tag, rs.sum += (LL)(rs.r - rs.l + 1) * root.tag;
        // 清除懒标记
        root.tag = 0;
    }
}

// 构建
void build(int u, int l, int r) {
    tr[u] = {l, r};              // 标记范围
    if (l == r) {                // 叶子
        tr[u] = {l, r, a[l], 0}; // 区间内只有一个元素l(r),区间和为a[l],不需要记录向下的传递tag
        return;
    }

    int mid = (l + r) >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r); // 左右儿子构建
    pushup(u);                                            // 通过左右儿子构建后，向祖先节点反馈统计信息变化
}

// 以u为根，在区间[l,r]之间全都增加v
void modify(int u, int l, int r, int v) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) {               // 如果区间完整命中
        tr[u].sum += (LL)(tr[u].r - tr[u].l + 1) * v; // 总和增加 = 区间长度*v
        tr[u].tag += v;                               // 懒标记+v
        return;
    }

    pushdown(u); // 如果自己身上有旧的tag数值，在递归前需要将原tag值pushdown到子孙节点去
    int mid = (tr[u].l + tr[u].r) >> 1;
    if (l <= mid) modify(u << 1, l, r, v);    // 与左区间有交集
    if (r > mid) modify(u << 1 | 1, l, r, v); // 与右区间有交集
    pushup(u);                                // 将结果的变更更新到祖先节点
}

// 关键的查询操作
LL query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].sum;

    // 记住原则：有懒标记的区间修改，都是先pushdown消除掉懒标记，再分裂
    pushdown(u);

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    LL sum = 0;
    if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) sum += query(u << 1 | 1, l, r);

    // 左查+ 右查 = 总和
    return sum;
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    // 构建线段树
    build(1, 1, n);

    char op;
    int l, r, d;
    while (m--) {
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 'C') {
            cin >> d;
            modify(1, l, r, d); // 区间修改
        } else
            printf("%lld\n", query(1, l, r)); // 区间查询
    }
    return 0;
}